数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 曲線の長さ(極座標表示、指数関数、微分)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題15の解答を求めてみる。

15. 
    
    $\begin{array}{}{\int \; <!--\; integral\; -->}_1^2\sqrt{{\left(e^{-4\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\right)}^2+{\left(\frac{d}{d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{e}^{-4\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\right)}^2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_1^2\sqrt{e^{-8\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}+{\left(-4e^{-4\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\right)}^2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_1^2\sqrt{e^{-8\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}+16e^{-8\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\sqrt{17}{\int \; <!--\; integral\; -->}_1^2{e}^{-4\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\sqrt{17}{\left[\frac{-1}{4}{e}^{-4\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\right]}_1^2\\ =\frac{\sqrt{17}}{4}\left(e^{-4}-e^{-8}\right)\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, plot, sqrt, cos, sin
from sympy import pi, exp
from sympy.plotting import plot_parametric

theta = symbols('θ')
r = exp(-4 * theta)
x = r * cos(theta)
y = r * sin(theta)

I = Integral(sqrt(r ** 2 + Derivative(r, theta, 1) ** 2), (theta, 1, 2))

for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

p = plot_parametric((x, y, (theta, 0, 1)),
                    (x, y, (theta, 1, 2)),
                    (x, y, (theta, 2, 2 * pi)),
                    show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample15.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ python3 sample15.py 
2                               
⌠                               
⎮      ______________________   
⎮     ╱            2            
⎮    ╱  ⎛d ⎛ -4⋅θ⎞⎞     -8⋅θ    
⎮   ╱   ⎜──⎝ℯ    ⎠⎟  + ℯ      dθ
⎮ ╲╱    ⎝dθ       ⎠             
⌡                               
1                               

     ⎛   4    ⎞  -8 
-√17⋅⎝- ℯ  + 1⎠⋅ℯ   
────────────────────
         4          

$