数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 曲線の長さ(パラメータ表示、累乗(べき乗、平方)、平方根)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題7の解答を求めてみる。

7. 
   
   $\begin{array}{}\underset{0}{\overset{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{{\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}9t^2\right)}^2+{\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(9t^3-3t\right)\right)}^2}\mathrm{dt}\\ =\underset{0}{\overset{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{{\left(3^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->2t\right)}^2+{\left(3^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->3t^2-3\right)}^2}\mathrm{dt}\\ =\underset{0}{\overset{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{3^6{t}^4+2^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->3^4{t}^2-2·\; <!--\; middle\; dot\; -->3^4{t}^2+3^2}\mathrm{dt}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}\\ =3\int \; <!--\; integral\; -->\sqrt{3^4{t}^4+2^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->3^2{t}^2-2·\; <!--\; middle\; dot\; -->3^2{t}^2+1}\mathrm{dt}\\ =3\underset{0}{\overset{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{3^4{t}^4+2·\; <!--\; middle\; dot\; -->3^2{t}^2+1}\mathrm{dt}\\ =3\underset{0}{\overset{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{{\left(3^2{t}^2+1\right)}^2}\mathrm{dt}\\ =3\underset{0}{\overset{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\left(3^2{t}^2+1\right)\mathrm{dt}\\ =3\left[3t^3+t\right]\frac{1}{\sqrt[0]{3}}\\ =3\left(3·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\\ =\frac{6}{\sqrt{3}}\\ =2\sqrt{3}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, plot, sqrt
from sympy.plotting import plot_parametric

t = symbols('t', real=True)

x = 9 * t ** 2
y = 9 * t ** 3 - 3 * t
I = Integral(sqrt(Derivative(x, t, 1) ** 2 +
                  Derivative(y, t, 1) ** 2), (t, 0, 1 / sqrt(3)))

for o in [I, I.doit(), I.doit().doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

p = plot_parametric((x, y, (t, -1, 0)),
                    (x, y, (t, 0, 1 / sqrt(3))),
                    (x, y, (t, 1 / sqrt(3), 1)),
                    legend=True,
                    show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample7.png')

入出力結果(Terminal、cmd(コマンドプロンプト)、Jupyter(IPython))

$ python3 sample7.py
√3                                          
──                                          
3                                           
⌠                                           
⎮       _________________________________   
⎮      ╱           2                   2    
⎮     ╱  ⎛d ⎛   2⎞⎞    ⎛d ⎛   3      ⎞⎞     
⎮    ╱   ⎜──⎝9⋅t ⎠⎟  + ⎜──⎝9⋅t  - 3⋅t⎠⎟   dt
⎮  ╲╱    ⎝dt      ⎠    ⎝dt            ⎠     
⌡                                           
0                                           

              √3        
  √3          ──        
  ──          3         
  3           ⌠         
  ⌠           ⎮     2   
3⋅⎮  1 dt + 3⋅⎮  9⋅t  dt
  ⌡           ⌡         
  0           0         

2⋅√3

$