2019年1月16日水曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題5の解答を求めてみる。


  1. 0 2 d dt 2 t + 1 2 + d dt t 2 2 dt = 0 2 2 2 + 2 t 2 dt = 2 0 2 1 + t 2 dt

    一応微分して確認。

    1 2 t 1 + t 2 + log t + 1 + t 2 = 1 2 1 + t 2 + t 2 1 + t 2 + 1 t + 1 + t 2 1 + t 1 + t 2 = 1 2 1 + 2 t 2 1 + t 2 + 1 1 + t 2 = 1 + t 2

    よって、 求める曲線の長さは、

    2 · 1 2 t 1 + t 2 + log t + 1 + t 2 0 2 = 2 5 + log 2 + 5

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, plot, sqrt, Rational
from sympy import log
from sympy.plotting import plot_parametric

t = symbols('t')

x = 2 * t + 1
y = t ** 2
I = Integral(sqrt(Derivative(x, t, 1) ** 2 +
                  Derivative(y, t, 1) ** 2), (t, 0, 2))

for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

for o in [I.doit(), 2 * sqrt(5) + log(2 + sqrt(5))]:
    pprint(float(o))


p = plot_parametric((2 * t + 1, t ** 2, (t, -5, 0)),
                    (2 * t + 1, t ** 2, (t, 0, 2)),
                    (2 * t + 1, t ** 2, (t, 2, 5)),
                    legend=True,
                    show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample5.png')

入出力結果(Terminal、cmd(コマンドプロンプト)、Jupyter(IPython))

$ python3 sample5.py
2                                     
⌠                                     
⎮      ____________________________   
⎮     ╱         2                2    
⎮    ╱  ⎛d ⎛ 2⎞⎞    ⎛d          ⎞     
⎮   ╱   ⎜──⎝t ⎠⎟  + ⎜──(2⋅t + 1)⎟   dt
⎮ ╲╱    ⎝dt    ⎠    ⎝dt         ⎠     
⌡                                     
0                                     

asinh(2) + 2⋅√5

5.91577143017839
5.91577143017839
$

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