数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 曲線の長さ(パラメータ表示、累乗(べき乗、平方)、放物線、微分、対数関数、平方根)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題5の解答を求めてみる。

5. 
   
   $\begin{array}{}\underset{0}{\overset{2}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{{\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(2t+1\right)\right)}^2+{\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}{t}^2\right)}^2}\mathrm{dt}\\ =\underset{0}{\overset{2}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{2^2+{\left(2t\right)}^2}\mathrm{dt}\\ =2\underset{0}{\overset{2}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{1+t^2}\mathrm{dt}\end{array}$

   一応微分して確認。

   $\begin{array}{}\frac{1}{2}\left(t\sqrt{1+t^2}+\log \left(t+\sqrt{1+t^2}\right)\right)\\ =\frac{1}{2}\left(\sqrt{1+t^2}+\frac{t^2}{\sqrt{1+t^2}}+\frac{1}{t+\sqrt{1+t^2}}\left(1+\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)\right)\\ =\frac{1}{2}\left(\frac{1+2t^2}{\sqrt{1+t^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\right)\\ =\sqrt{1+t^2}\end{array}$

   よって、 求める曲線の長さは、

   $\begin{array}{}2·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{2}{\left[t\sqrt{1+t^2}+\log \left(t+\sqrt{1+t^2}\right)\right]}_0^2\\ =2\sqrt{5}+\log \left(2+\sqrt{5}\right)\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, plot, sqrt, Rational
from sympy import log
from sympy.plotting import plot_parametric

t = symbols('t')

x = 2 * t + 1
y = t ** 2
I = Integral(sqrt(Derivative(x, t, 1) ** 2 +
                  Derivative(y, t, 1) ** 2), (t, 0, 2))

for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

for o in [I.doit(), 2 * sqrt(5) + log(2 + sqrt(5))]:
    pprint(float(o))


p = plot_parametric((2 * t + 1, t ** 2, (t, -5, 0)),
                    (2 * t + 1, t ** 2, (t, 0, 2)),
                    (2 * t + 1, t ** 2, (t, 2, 5)),
                    legend=True,
                    show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample5.png')

入出力結果(Terminal、cmd(コマンドプロンプト)、Jupyter(IPython))

$ python3 sample5.py
2                                     
⌠                                     
⎮      ____________________________   
⎮     ╱         2                2    
⎮    ╱  ⎛d ⎛ 2⎞⎞    ⎛d          ⎞     
⎮   ╱   ⎜──⎝t ⎠⎟  + ⎜──(2⋅t + 1)⎟   dt
⎮ ╲╱    ⎝dt    ⎠    ⎝dt         ⎠     
⌡                                     
0                                     

asinh(2) + 2⋅√5

5.91577143017839
5.91577143017839
$