数学 - Python - 解析学 - 積分 - 積分の応用 - 曲線の長さ(逆数、平方根、累乗(べき乗)、対数関数、微分、極座標表示)

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス(Kobo) Yahoo!

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題17の解答を求めてみる。

17. 
    
    $\begin{array}{}\underset{\frac{1}{2}}{\overset{4}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{{\left(\frac{2}{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\right)}^2+{\left(\frac{d}{d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\left(\frac{2}{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\right)\right)}^2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\underset{\frac{1}{2}}{\overset{4}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{\frac{2^2}{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2}+{\left(\frac{-2}{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2}\right)}^2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =2\underset{\frac{1}{2}}{\overset{4}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{\frac{1}{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^4}}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =2\underset{\frac{1}{2}}{\overset{4}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{\sqrt{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2+1}}{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\end{array}$

    いろいろと微分してみる。

    $\begin{array}{}\frac{d}{d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\frac{\sqrt{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2+1}}{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\\ =\frac{1}{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2}\left(\frac{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{\sqrt{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2+1}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}-\sqrt{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2+1}\right)\\ =\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2+1}}-\frac{\sqrt{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2+1}}{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2}\\ =\frac{-{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2}{\sqrt{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2+1}}\\ \frac{d}{d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\log \left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+\sqrt{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2+1}\right)\\ =\frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2}}\\ \frac{d}{d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\left(\log \left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+\sqrt{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2+1}\right)-\frac{\sqrt{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2+1}}{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\right)\\ =\frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2}}-\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2+1}}+\frac{\sqrt{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2+1}}{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2}\\ =\frac{\sqrt{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2+1}}{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2}\end{array}$

    よって、求める曲線の長さは、

    $\begin{array}{}2{\left[\log \left(\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+\sqrt{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2+1}\right)-\frac{\sqrt{{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}^2+1}}{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\right]}^4\frac{1}{2}\\ =2\left(\left(\log \left(4+\sqrt{17}\right)-\frac{\sqrt{17}}{4}\right)-\left(\log \left(\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+1}\right)-2\sqrt{\frac{1}{4}+1}\right)\right)\\ =2\left(\log \left(4+\sqrt{17}\right)-\frac{\sqrt{17}}{4}-\log \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)+\sqrt{5}\right)\\ =2\sqrt{5}-\frac{\sqrt{17}}{2}+2\log \frac{8+2\sqrt{17}}{1+\sqrt{5}}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, sqrt, cos, sin, pi
from sympy import Rational, log
from sympy.plotting import plot_parametric

theta = symbols('θ')
r = 2 / theta
x = r * cos(theta)
y = r * sin(theta)

I = Integral(sqrt(r ** 2 + Derivative(r, theta, 1) ** 2),
             (theta, Rational(1, 2), 4))

for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

I = 2 * Integral(sqrt(theta ** 2 + 1) / theta ** 2, (theta, Rational(1, 2), 4))
for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

for o in [I.doit(),
          2 * sqrt(5) - sqrt(17) / 2 + 2 *
          log((8 + 2 * sqrt(17)) / (1 + sqrt(5)))]:
    print(float(o))

p = plot_parametric((x, y, (theta, Rational(1, 3), Rational(1, 2))),
                    (x, y, (theta, Rational(1, 2), 4)),
                    (x, y, (theta, 4, 5)),
                    show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample17.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ python3 sample17.py
 4                          
 ⌠                          
 ⎮        _______________   
 ⎮       ╱        2         
 ⎮      ╱  ⎛d ⎛2⎞⎞    4     
 ⎮     ╱   ⎜──⎜─⎟⎟  + ──  dθ
 ⎮    ╱    ⎝dθ⎝θ⎠⎠     2    
 ⎮  ╲╱                θ     
 ⌡                          
1/2                         

   4                   
   ⌠                   
   ⎮        ________   
   ⎮       ╱  2        
   ⎮      ╱  θ  + 1    
2⋅ ⎮     ╱   ──────  dθ
   ⎮    ╱       4      
   ⎮  ╲╱       θ       
   ⌡                   
  1/2                  

   4                
   ⌠                
   ⎮     ________   
   ⎮    ╱  2        
   ⎮  ╲╱  θ  + 1    
2⋅ ⎮  ─────────── dθ
   ⎮        2       
   ⎮       θ        
   ⌡                
  1/2               

  √17                                   
- ─── - 2⋅asinh(1/2) + 2⋅asinh(4) + 2⋅√5
   2                                    

5.637584586593745
5.637584586593745
$