2019年1月28日月曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第3部(積分)、第13章(積分の応用)、補充問題、曲線の長さの練習問題17の解答を求めてみる。


  1. 1 2 4 2 θ 2 + d d θ 2 θ 2 d θ = 1 2 4 2 2 θ 2 + - 2 θ 2 2 d θ = 2 1 2 4 1 θ 2 + 1 θ 4 d θ = 2 1 2 4 θ 2 + 1 θ 2 d θ

    いろいろと微分してみる。

    d d θ θ 2 + 1 θ = 1 θ 2 θ θ 2 + 1 · θ - θ 2 + 1 = 1 θ 2 + 1 - θ 2 + 1 θ 2 = - θ 2 θ 2 + 1 d d θ log θ + θ 2 + 1 = 1 1 + θ 2 d d θ log θ + θ 2 + 1 - θ 2 + 1 θ = 1 1 + θ 2 - 1 θ 2 + 1 + θ 2 + 1 θ 2 = θ 2 + 1 θ 2

    よって、求める曲線の長さは、

    2 log θ + θ 2 + 1 - θ 2 + 1 θ 4 1 2 = 2 log 4 + 17 - 17 4 - log 1 2 + 1 4 + 1 - 2 1 4 + 1 = 2 log 4 + 17 - 17 4 - log 1 2 + 5 2 + 5 = 2 5 - 17 2 + 2 log 8 + 2 17 1 + 5

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, sqrt, cos, sin, pi
from sympy import Rational, log
from sympy.plotting import plot_parametric

theta = symbols('θ')
r = 2 / theta
x = r * cos(theta)
y = r * sin(theta)

I = Integral(sqrt(r ** 2 + Derivative(r, theta, 1) ** 2),
             (theta, Rational(1, 2), 4))

for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

I = 2 * Integral(sqrt(theta ** 2 + 1) / theta ** 2, (theta, Rational(1, 2), 4))
for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

for o in [I.doit(),
          2 * sqrt(5) - sqrt(17) / 2 + 2 *
          log((8 + 2 * sqrt(17)) / (1 + sqrt(5)))]:
    print(float(o))

p = plot_parametric((x, y, (theta, Rational(1, 3), Rational(1, 2))),
                    (x, y, (theta, Rational(1, 2), 4)),
                    (x, y, (theta, 4, 5)),
                    show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue']
for i, color in enumerate(colors):
    p[i].line_color = color
p.save('sample17.png')

入出力結果(cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ python3 sample17.py
 4                          
 ⌠                          
 ⎮        _______________   
 ⎮       ╱        2         
 ⎮      ╱  ⎛d ⎛2⎞⎞    4     
 ⎮     ╱   ⎜──⎜─⎟⎟  + ──  dθ
 ⎮    ╱    ⎝dθ⎝θ⎠⎠     2    
 ⎮  ╲╱                θ     
 ⌡                          
1/2                         

   4                   
   ⌠                   
   ⎮        ________   
   ⎮       ╱  2        
   ⎮      ╱  θ  + 1    
2⋅ ⎮     ╱   ──────  dθ
   ⎮    ╱       4      
   ⎮  ╲╱       θ       
   ⌡                   
  1/2                  

   4                
   ⌠                
   ⎮     ________   
   ⎮    ╱  2        
   ⎮  ╲╱  θ  + 1    
2⋅ ⎮  ─────────── dθ
   ⎮        2       
   ⎮       θ        
   ⌡                
  1/2               

  √17                                   
- ─── - 2⋅asinh(1/2) + 2⋅asinh(4) + 2⋅√5
   2                                    

5.637584586593745
5.637584586593745
$

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