数学 - 大小関係を見る - 不等式 – 不等式の基本性質 – 不等式の基本性質(等式付き不等式、公理と他の諸性質の導出)

数学読本〈1〉
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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(大小関係を見る - 不等式)、4.1(不等式の基本性質)、不等式の基本性質の問3の解答を求めてみる。

3. 
   
   $a>b,c>d$

   のとき、 問2 （1） より、

   $a+c>b+d$

   次に、

   $a=b,c>d$

   のとき、3より

   $a+c>b+d$

   また、

   $a>b,c=d$

   のときも同様に、

   $a+c>b+d$

   そして、

   $a=b,c=d$

   のとき、

   $a+c=b+d$

   よって、

   $a\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->b,c\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->d\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->a+c\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->b+d$

   問題の後者について。

   $a\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->b$

   と仮定する。

   $a>b$

   のとき、

   $a+c>b+d$

   よって矛盾。 ゆえに、

   $a=c$

   同様にして、

   $b=d$

   以上より、

   $a\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->b,c\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->d,a+c=b+d\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->a=b,c=d$

   （証明終）