2018年12月30日日曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、3(基底)、練習問題5.を取り組んでみる。



    1. a + b t = 0

      とする。

      両辺を微分すると、

      b = 0

      よって、

      a = 0 , b = 0

      となるので1次従属ではない。
      すなわち、問題の2つの関数は1次独立。


    2. a t + b t 2 = 0 a + 2 b t = 0 2 b = 0 b = 0 a = 0

      よって1次独立。


    3. a t + b t 4 = 0 a + 4 b t 3 = 0 12 b t 2 = 0 b = 0 a = 0

      よって1次独立。


    4. a e t + b t = 0 a e t + b = 0 a e t = 0 a = 0 b = 0

      よって1次独立。


    5. a t e t + b e 2 t = 0 a e t + a t e t + 2 b e 2 t = 0 a e t + b e 2 t = 0 a e t + 2 b e 2 t = 0 b e 2 t = 0 b = 0 a = 0

      よって1次独立。


    6. a sin t + b cos t = 0 a cos t - b sin t = 0 a sin t = - b cos t a cos t = b sin t a 2 sin 2 t = b 2 cos 2 t a 2 cos 2 t = b 2 sin 2 t a 2 = b 2 b = ± a b = a a sin t + a cos t = 0 a cos t - a sin t = 0 2 a cos t = 0 a = 0 b = 0 b = - a a sin t - a cos t = 0 a cos t + a sin t = 0 2 a sin t = 0 a = 0 b = 0

      よって1次独立。


    7. a t + b sin t = 0 a + b cos t = 0 - b sin t = 0 b = 0 a t = 0 a = 0

      よって1次独立。

      a sin t + b sin 2 t = 0 a cos t + 2 b cos 2 t = 0 - a sin t - 4 b sin 2 t = 0 - 3 b sin 2 t = 0 b = 0 a sin t = 0 a = 0

      よって1次独立。


    8. a cos t + b cos 3 t = 0 - a sin t - 3 b sin 3 t = 0 - a cos t - 3 b cos 3 t = 0 - 2 b cos 3 t = 0 b = 0 a cos t = 0 a = 0

      よって、1次独立。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, exp, sin, cos

print('5.')

t, a, b = symbols('t, a, b', real=True)
eq = [a + b * t,
      a * t + b * t ** 2,
      a * t + b * t ** 4,
      a * exp(t) + b * t,
      a * t * exp(t) * b * exp(2 * t),
      a * sin(t) + b * cos(t),
      a * t + b * sin(t),
      a * sin(t) + b * sin(2 * t),
      a * cos(t) + b * cos(3 * t)]

for i, eq in enumerate(eq):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    pprint(solve(eq, a, b, dict=True))
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample5.py
5.
(a)
[{a: 0, b: 0}]

(b)
[{a: 0, b: 0}]

(c)
[{a: 0, b: 0}]

(d)
⎡⎧         -t⎫⎤
⎢⎨a: -b⋅t⋅ℯ  ⎬⎥
⎣⎩           ⎭⎦

(e)
[{a: 0}, {b: 0}]

(f)
⎡⎧    -b   ⎫⎤
⎢⎨a: ──────⎬⎥
⎣⎩   tan(t)⎭⎦

(g)
⎡⎧   -b⋅sin(t) ⎫⎤
⎢⎨a: ──────────⎬⎥
⎣⎩       t     ⎭⎦

(h)
[{a: -2⋅b⋅cos(t)}]

(i)
⎡⎧   -b⋅cos(3⋅t) ⎫⎤
⎢⎨a: ────────────⎬⎥
⎣⎩      cos(t)   ⎭⎦

$

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