数学 - Python - 線形代数学 - ベクトル空間 – 定義(平方、有理数、体、加法と乗法(和と積)、単位元と逆元)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、2(定義)、練習問題9.を取り組んでみる。

9. 
   

   任意の有理数、

   $a,b,c,d\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}$

   に対して、

   $\begin{array}{}\left(a+b\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\right)+\left(c+d\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\right)\\ =\left(a+c\right)+\left(b+d\right)\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\\ a+c,b+d\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}\\ \left(a+b\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\right)\left(c+d\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\right)\\ =\left(ac+bdc\right)+\left(ad+bc\right)\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\\ ac+bdc,ad+bc\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}\end{array}$

   よって、加法、乗法について閉じている。

   $\begin{array}{}-\left(a+b\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\right)\\ =-a-b\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\\ a+b\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\\ \frac{1}{a+b\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}}\\ =\frac{a-b\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}}{a^2-b^{2}c}\\ =\frac{a}{a^2-b^{2}c}-\frac{b}{a^2-b^{2}c}\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\\ \frac{a}{a^2-b^{2}c},\frac{-b}{a^2-b^{2}c}\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}\end{array}$

   よって、加法と乗法の逆元を含む。

   $\begin{array}{}0=0+0\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\\ 1=1+0\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\\ 0,1\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}\end{array}$

   よって、加法、乗法の単位元を含む。

   ゆえに体である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt, Rational

print('8.')

a, b, c, d = symbols('a, b, c, d', rational=True)
r = sqrt(Rational(3, 2))
x = a + b * r
y = c + d * r

for t in [x, y, x + y, x * y, x ** -1, - x]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample9.py
8.
    √6⋅b
a + ────
     2  

    √6⋅d
c + ────
     2  

    √6⋅b       √6⋅d
a + ──── + c + ────
     2          2  

⎛    √6⋅b⎞ ⎛    √6⋅d⎞
⎜a + ────⎟⋅⎜c + ────⎟
⎝     2  ⎠ ⎝     2  ⎠

   1    
────────
    √6⋅b
a + ────
     2  

     √6⋅b
-a - ────
      2  

$