数学 - Python - 解析学 - 重積分の変数変換 - 変数変換定理(変数変換、円、極座標、円柱座標、第一象限)

解析入門(下)
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

解析入門(下) (松坂和夫 数学入門シリーズ 6) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(重積分の変数変換)、24.2(変数変換定理)、問題3-(a).を取り組んでみる。

3. 
   
   1. 
      

      xy 平面上の点(x, y)を 極座標に変換。

      $\begin{array}{}x=r\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ y=r\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ 0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->r\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->a\\ 0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}\end{array}$

      ヤコビ行列式の値。

      $\begin{array}{}\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->r}& \frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\\ \frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->r}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->r}& \frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}\end{array}\right|\\ =\left|\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}& \sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ -r\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}& r\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\end{array}\right|\\ =r\left({\cos }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+{\sin }^2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\\ =r\end{array}$

      求める積分の値。

      $\begin{array}{}\underset{x^2+y^2\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->a^2,x\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0,y\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0}{\iint \; <!--\; double\; integral\; -->}xy\mathrm{dx}y\\ =\underset{0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->r\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->a}{\int \; <!--\; integral\; -->}\underset{0\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}}{\int \; <!--\; integral\; -->}\left(r\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\left(r\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)rdrd\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\underset{0}{\overset{a}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{r}^{3}dr\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\\ =\frac{1}{4}{\left[r^4\right]}_0^a\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\frac{\sin \left(2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}{2}d\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\\ =\frac{1}{8}{a}^4{\left[-\frac{\cos \left(2\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)}{2}\right]}_0^{\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}}\\ =\frac{1}{16}{a}^4·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1+1\right)\\ =\frac{1}{8}{a}^4\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, pi, sin, cos

print('3-(a).')

r, theta = symbols('r, θ')
a = symbols('a', nonnegative=True)
I = Integral(r ** 3 * Integral(cos(theta) * sin(theta),
                               (theta, 0, pi / 2)), (r, 0, a))

for t in [I, I.doit()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3-(a).
a                         
⌠                         
⎮    π                    
⎮    ─                    
⎮    2                    
⎮  3 ⌠                    
⎮ r ⋅⎮ sin(θ)⋅cos(θ) dθ dr
⎮    ⌡                    
⎮    0                    
⌡                         
0                         

 4
a 
──
8 

$