2018年12月6日木曜日

学習環境

解析入門(下) (松坂和夫 数学入門シリーズ 6) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(重積分の変数変換)、24.2(変数変換定理)、問題3-(a).を取り組んでみる。



    1. xy 平面上の点(x, y)を 極座標に変換。

      x = r cos θ y = r sin θ 0 r a 0 θ π 2

      ヤコビ行列式の値。

      | x r x θ r r y θ | = | cos θ sin θ - r sin θ r cos θ | = r cos 2 θ + sin 2 θ = r

      求める積分の値。

      x 2 + y 2 a 2 , x 0 , y 0 x y dx y = 0 r a 0 θ π 2 r cos θ r sin θ r d r d θ = 0 a r 3 d r 0 π 2 cos θ sin θ d θ π = 1 4 r 4 0 a 0 π 2 sin 2 θ 2 d θ = 1 8 a 4 - cos 2 θ 2 0 π 2 = 1 16 a 4 · 1 + 1 = 1 8 a 4

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, pi, sin, cos

print('3-(a).')

r, theta = symbols('r, θ')
a = symbols('a', nonnegative=True)
I = Integral(r ** 3 * Integral(cos(theta) * sin(theta),
                               (theta, 0, pi / 2)), (r, 0, a))

for t in [I, I.doit()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3-(a).
a                         
⌠                         
⎮    π                    
⎮    ─                    
⎮    2                    
⎮  3 ⌠                    
⎮ r ⋅⎮ sin(θ)⋅cos(θ) dθ dr
⎮    ⌡                    
⎮    0                    
⌡                         
0                         

 4
a 
──
8 

$

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