数学 – Python - 数学はここから始まる - 数 – 高次方程式 – 高次方程式の解法(実数の立方根、一般化、ω(複素数の1の立方根))

数学読本〈1〉
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学習環境

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.3(高次方程式)、高次方程式の解法の問25.を取り組んでみる。

25. 
    
    $\begin{array}{}{x}^3-a^3=0\\ \left(x-a\right)\left(x^2+ax+a^2\right)=0\\ x^2+ax+a^2=0\\ x=\frac{-a\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{a^2-4a^2}}{2}\\ =\frac{-a+-\sqrt{3}ai}{2a}\\ =\frac{-1\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{3}i}{2}a\end{array}$

    よって、問題の方程式の解は、

    $\begin{array}{}x=a,\frac{-1\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{3}i}{2}a\\ =a,a\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->},\frac{-1-\sqrt{3i}}{2}a\end{array}$

    また、

    $\begin{array}{}{\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}}^2\\ ={\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)}^2\\ =\frac{1-3-2\sqrt{3}i}{2^2}\\ =\frac{-2-2\sqrt{3}i}{2^2}\\ =\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\end{array}$

    よって、 問題の方程式の解は、

    $x=a,\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}a,{\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}}^{2}a$

    である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, sqrt, I

print('25.')

x = symbols('x')
a = symbols('a', real=True)
eq = x ** 3 - a ** 3
xs = solve(eq, x)
pprint(xs)
w = (-1 + sqrt(3) * I) / 2

for l, r in zip(xs[1:], [w ** 2 * a, w * a]):
    for o in [l, r, l.expand() == r.expand()]:
        pprint(o)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample25.py
25.
⎡     ⎛  1   √3⋅ⅈ⎞    ⎛  1   √3⋅ⅈ⎞⎤
⎢a, a⋅⎜- ─ - ────⎟, a⋅⎜- ─ + ────⎟⎥
⎣     ⎝  2    2  ⎠    ⎝  2    2  ⎠⎦
  ⎛  1   √3⋅ⅈ⎞
a⋅⎜- ─ - ────⎟
  ⎝  2    2  ⎠

              2
  ⎛  1   √3⋅ⅈ⎞ 
a⋅⎜- ─ + ────⎟ 
  ⎝  2    2  ⎠ 

True


  ⎛  1   √3⋅ⅈ⎞
a⋅⎜- ─ + ────⎟
  ⎝  2    2  ⎠

  ⎛  1   √3⋅ⅈ⎞
a⋅⎜- ─ + ────⎟
  ⎝  2    2  ⎠

True


$