2018年12月25日火曜日

学習環境

解析入門(下) (松坂和夫 数学入門シリーズ 6) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(重積分の変数変換)、24.3(広義の積分)、問題3.を取り組んでみる。


  1. x 1 + + x n = u 1 x 2 + + x n = u 1 u 2 x n - 1 + x n = u 1 u 2 u n - 1 x n = u 1 u 2 u n

    とおく。

    このとき、

    x 1 = u 1 1 - u 2 x 2 = u 1 u 2 1 - u 3 x n - 1 = u 1 u n - 1 1 - u n x n = u 1 u n

    また、逆に

    u 1 = x 1 + + x n u 2 = x 2 + + x n x 1 + + x n u n - 1 = x n - 1 + x n x n - 2 + x n - 1 + x n u n = x n x n - 1 + x n

    となり、

    x 1 x n

    空間の集合 A は

    u 1 u n

    空間の集合 B

    B : 0 u i 1 i = 1 , , n

    が対応する。また、内部の点では1対1に対応する。

    ヤコビ行列式を計算するために、パラメーターとして、

    ε 1 = u 1 ε 2 = u 1 u 2 ε n = u 1 u n

    とおく。

    このとき、

    x 1 = ε 1 - ε 2 x 2 = ε 2 - ε 3 x n - 1 = ε n - 1 - ε n x n = ε n

    である。

    よって、ヤコビ行列式の値は、

    x 1 , , x n u 1 , , u n = x 1 , , x n ε 1 , , ε n · ε 1 , , ε n u 1 , , u n = det 1 - 1 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 1 det 1 0 0 0 u 2 u 1 0 0 u 2 u 3 u 1 u 3 u 1 u 2 0 u 2 u n u 1 u n - 1 = u 1 n - 1 u 2 n - 2 u n

    よって、 問題の積分は、

    B p 1 + + p n , q B p 2 + + p n , p 1 B p n , p n - 1 = Γ p 1 + + p n Γ q Γ p 1 + + p n + q · Γ p 2 + + p n Γ p 1 Γ p 2 + + p n + p 1 · . · Γ p n Γ p n - 1 Γ p n + p n - 1 = Γ p 1 Γ p n Γ q Γ p 1 + + p n + q

    である。

    (証明終)

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot
from sympy.plotting import plot3d

print('3.')

x, y = symbols('x, y')
p = 2
q = 3
s = 4
f2 = x ** (p - 1) * (1 - x) ** q
f3 = x ** (p - 1) * y ** (q - 1) * (1 - x - y) ** (s - 1)

for f in [f2, f3]:
    pprint(f)
    print()

p2 = plot(f2, (x, -0.9, 1.1), legend=True, show=False)
p2.save('sample3.png')

p3 = plot3d(f, show=False)
p3.save('sample3_0.png')

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3.
   2             3
x⋅y ⋅(-x - y + 1) 
$

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