数学 – Python - 数学はここから始まる - 数 – 高次方程式 – 連立2次方程式(複素数の範囲、平方根)

数学読本〈1〉
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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.3(高次方程式)、連立2次方程式の問38.を取り組んでみる。

38. 
    
    $\begin{array}{}z=x+yi\\ x,y\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\end{array}$

    とおく。

    $\begin{array}{}{z}^2\\ =\left(x^2-y^2\right)+2xyi\end{array}$

    2元連立2次方程式、

    $\begin{array}{}{x}^2-y^2=a\\ 2xy=b\end{array}$

    を満たす x、 y を求める。

    $b\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

    より、

    $x\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->y\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

    よって、

    $\begin{array}{}y=\frac{b}{2x}\\ x^2-\frac{b^2}{4x^2}=a\\ 4x^4-4a{x}^2-b^2=0\\ x^2=\frac{2a\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{4a^2+4b^2}}{4}\\ =\frac{a\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{a^2+b^2}}{2}\\ x=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{\frac{a\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\end{array}$

    x は実数なので、

    $\begin{array}{}x=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\\ y=\frac{b}{\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->2}\\ =\frac{b}{\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{a+\sqrt{a^2+b^2}}\sqrt{2}}\\ =\frac{b\sqrt{-a+\sqrt{a^2+b^2}}}{\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}-a}\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}+a}}\\ =\frac{\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->b\sqrt{-a+\sqrt{a^2+b^2}}}{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2-a^2}}\\ =\frac{\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->b\sqrt{-a+\sqrt{a^2+b^2}}}{\sqrt{2}\sqrt{b^2}}\\ =\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{b}{\sqrt{b^2}}\end{array}$

    （複号同順）

    場合分け。

    $b<0$

    の場合、

    $\frac{b}{\sqrt{b^2}}=-1$

    よって、

    $\begin{array}{}x=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\\ y=\mp \; <!--\; latex:\; \backslash mp\; -->\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\\ z=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}-i\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\right)\end{array}$

    また、

    $b>0$

    の場合、

    $\frac{b}{\sqrt{b^2}}=1$

    よって、

    $\begin{array}{}y=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\\ z=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}+i\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\right)\end{array}$

    （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, plot, I, sqrt

print('38.')

a, x, y = symbols('a, x, y', real=True)
b = symbols('b', nonzero=True, real=True)
alpha = a + b * I
z = x + y * I

eq = z ** 2 - alpha

s = solve(eq, x, y, dict=True)

for d in s:
    for k, v in d.items():
        for o in [k, v]:
            pprint(o.simplify())
            print()
        print()
    print('-' * 50)

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample38.py
38.
x

       ___________________                    
      ╱         _________  ⎛        _________⎞
     ╱         ╱  2    2   ⎜       ╱  2    2 ⎟
√2⋅╲╱   -a - ╲╱  a  + b   ⋅⎝-a + ╲╱  a  + b  ⎠
──────────────────────────────────────────────
                     2⋅b                      


y

     _______________________ 
    ╱             _________  
   ╱             ╱  2    2   
-╲╱   -2⋅a - 2⋅╲╱  a  + b    
─────────────────────────────
              2              


--------------------------------------------------
x

       ___________________                   
      ╱         _________  ⎛       _________⎞
     ╱         ╱  2    2   ⎜      ╱  2    2 ⎟
√2⋅╲╱   -a - ╲╱  a  + b   ⋅⎝a - ╲╱  a  + b  ⎠
─────────────────────────────────────────────
                     2⋅b                     


y

    _______________________
   ╱             _________ 
  ╱             ╱  2    2  
╲╱   -2⋅a - 2⋅╲╱  a  + b   
───────────────────────────
             2             


--------------------------------------------------
x

        ___________________                    
       ╱         _________  ⎛       _________⎞ 
      ╱         ╱  2    2   ⎜      ╱  2    2 ⎟ 
-√2⋅╲╱   -a + ╲╱  a  + b   ⋅⎝a + ╲╱  a  + b  ⎠ 
───────────────────────────────────────────────
                      2⋅b                      


y

     _______________________ 
    ╱             _________  
   ╱             ╱  2    2   
-╲╱   -2⋅a + 2⋅╲╱  a  + b    
─────────────────────────────
              2              


--------------------------------------------------
x

       ___________________                   
      ╱         _________  ⎛       _________⎞
     ╱         ╱  2    2   ⎜      ╱  2    2 ⎟
√2⋅╲╱   -a + ╲╱  a  + b   ⋅⎝a + ╲╱  a  + b  ⎠
─────────────────────────────────────────────
                     2⋅b                     


y

    _______________________
   ╱             _________ 
  ╱             ╱  2    2  
╲╱   -2⋅a + 2⋅╲╱  a  + b   
───────────────────────────
             2             


--------------------------------------------------
$