2018年12月29日土曜日

学習環境

数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.3(高次方程式)、連立2次方程式の問38.を取り組んでみる。


  1. z = x + y i x , y

    とおく。

    z 2 = x 2 - y 2 + 2 x y i

    2元連立2次方程式、

    x 2 - y 2 = a 2 x y = b

    を満たす x、 y を求める。

    b 0

    より、

    x 0 y 0

    よって、

    y = b 2 x x 2 - b 2 4 x 2 = a 4 x 4 - 4 a x 2 - b 2 = 0 x 2 = 2 a ± 4 a 2 + 4 b 2 4 = a ± a 2 + b 2 2 x = ± a ± a 2 + b 2 2

    x は実数なので、

    x = ± a + a 2 + b 2 2 y = b ± a + a 2 + b 2 2 · 2 = b ± a + a 2 + b 2 2 = b - a + a 2 + b 2 ± 2 a 2 + b 2 - a a 2 + b 2 + a = ± b - a + a 2 + b 2 2 a 2 + b 2 - a 2 = ± b - a + a 2 + b 2 2 b 2 = ± - a + a 2 + b 2 2 · b b 2

    (複号同順)

    場合分け。

    b < 0

    の場合、

    b b 2 = - 1

    よって、

    x = ± a + a 2 + b 2 2 y = - a + a 2 + b 2 2 z = ± a + a 2 + b 2 2 - i - a + a 2 + b 2 2

    また、

    b > 0

    の場合、

    b b 2 = 1

    よって、

    y = ± - a + a 2 + b 2 2 z = ± a + a 2 + b 2 2 + i - a + a 2 + b 2 2

    (証明終)

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, plot, I, sqrt

print('38.')

a, x, y = symbols('a, x, y', real=True)
b = symbols('b', nonzero=True, real=True)
alpha = a + b * I
z = x + y * I

eq = z ** 2 - alpha

s = solve(eq, x, y, dict=True)

for d in s:
    for k, v in d.items():
        for o in [k, v]:
            pprint(o.simplify())
            print()
        print()
    print('-' * 50)

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample38.py
38.
x

       ___________________                    
      ╱         _________  ⎛        _________⎞
     ╱         ╱  2    2   ⎜       ╱  2    2 ⎟
√2⋅╲╱   -a - ╲╱  a  + b   ⋅⎝-a + ╲╱  a  + b  ⎠
──────────────────────────────────────────────
                     2⋅b                      


y

     _______________________ 
    ╱             _________  
   ╱             ╱  2    2   
-╲╱   -2⋅a - 2⋅╲╱  a  + b    
─────────────────────────────
              2              


--------------------------------------------------
x

       ___________________                   
      ╱         _________  ⎛       _________⎞
     ╱         ╱  2    2   ⎜      ╱  2    2 ⎟
√2⋅╲╱   -a - ╲╱  a  + b   ⋅⎝a - ╲╱  a  + b  ⎠
─────────────────────────────────────────────
                     2⋅b                     


y

    _______________________
   ╱             _________ 
  ╱             ╱  2    2  
╲╱   -2⋅a - 2⋅╲╱  a  + b   
───────────────────────────
             2             


--------------------------------------------------
x

        ___________________                    
       ╱         _________  ⎛       _________⎞ 
      ╱         ╱  2    2   ⎜      ╱  2    2 ⎟ 
-√2⋅╲╱   -a + ╲╱  a  + b   ⋅⎝a + ╲╱  a  + b  ⎠ 
───────────────────────────────────────────────
                      2⋅b                      


y

     _______________________ 
    ╱             _________  
   ╱             ╱  2    2   
-╲╱   -2⋅a + 2⋅╲╱  a  + b    
─────────────────────────────
              2              


--------------------------------------------------
x

       ___________________                   
      ╱         _________  ⎛       _________⎞
     ╱         ╱  2    2   ⎜      ╱  2    2 ⎟
√2⋅╲╱   -a + ╲╱  a  + b   ⋅⎝a + ╲╱  a  + b  ⎠
─────────────────────────────────────────────
                     2⋅b                     


y

    _______________________
   ╱             _________ 
  ╱             ╱  2    2  
╲╱   -2⋅a + 2⋅╲╱  a  + b   
───────────────────────────
             2             


--------------------------------------------------
$

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