数学 - 代数学 - 群 - 正規部分群と商群(部分群の積、単位元)

代数系入門
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

代数系入門 (松坂和夫 数学入門シリーズ 3) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、5(正規部分群と商群)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   

   問趣仮定より、 H は部分群なので、単位元 e を含むので、 H の任意の元 a に対して、

   $a=ae\in \; <!--\; element\; of\; -->HH$

   よって、

   $H\subset \; <!--\; subset\; of\; -->HH$

   また、任意の H の元 a、 b に対して H は 群なので積は閉じているので、

   $ab\in \; <!--\; element\; of\; -->H$

   よって、

   $HH\subset \; <!--\; subset\; of\; -->H$

   ゆえに、

   $HH=H$

   が成り立つ。