2018年11月25日日曜日

学習環境

解析入門(下) (松坂和夫 数学入門シリーズ 6) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(重積分の変数変換)、24.1(アフィン変換と測度)、問題2.を取り組んでみる。



    • 線形変換L、ベクトル b を

      T x = L x + b

      を満たすものとする。

      このとき、

      T α x + β y = L α x + β y + b = α L x + β L y + α + β b = α L x + b + β L y + b = α T x + β T y

      よって、(a)ならば(b)が成り立つ。


    • α i 1 α 1 + + α i + + α p = 1 α 1 + + α p + α i = 1 α 1 + + α p = 1 - α i α 1 1 - α i + + α p 1 - α i = 1 T α 1 x 1 + + α p x p + α i x i = T 1 - α i α 1 1 - α i x 1 + + α p 1 - α i x p + α i x i

      ここで、

      1 - α i + α i = 1

      なので仮定(b)より、

      1 - α i T α 1 1 - α i x 1 + + α p 1 - α i x p + α i T x i = 1 - α i α 1 1 - α i T x 1 + + α p 1 - α i T x p + α i T x i = α , T x 1 + + α p T x p + α i T x i = α 1 T x 1 + + α p T x p

      よって、帰納法により(c)が成り立つ。

      ゆえに、(b)ならば(c)である。


    • L x = T x - T 0

      とおく。

      L α x + β y = T α x + β y - T 0 = T α x + β y + 1 - α - β 0 - T 0 = α T x + β T y + T 0 - α T 0 - β T 0 - T 0 = α T x - T 0 + β T y - T 0 = α L x + β L x

      よって、 L は線形写像なので、 T はアフィン変換である。

      ゆえに(c)ならば(a)である。

      以上より、(a)、(b)、(c) は互いに同値である。

      (証明終)

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Rational

print('1.')

x, y = symbols('x, y')
a, b = symbols('a, b')
L = 2 * x
T = L + 3


eq1 = T.subs({x: a * x + b * y})
eq2 = a * T + b * T.subs({x: y})

d = {a: Rational(1, 3), b: Rational(2, 3)}
for t in [eq1.subs(d), eq2.subs(d), eq1.subs(d) == eq2.subs(d)]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, cmd(コマンドプロンプト), Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
1.
2⋅x   4⋅y    
─── + ─── + 3
 3     3     

2⋅x   4⋅y    
─── + ─── + 3
 3     3     

True

$

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