数学 - 代数学 - 群 - 部分群と生成系(二面体群D4の全ての部分群の決定)

代数系入門
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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、3(部分群と生成系)、問題10.を取り組んでみる。

10. 
    

    位数8の部分群。（二面体群自身）

    $\left\{e,\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->},{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}^2,{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}^3,\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->},\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->},{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}^2\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->},{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}^3\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\right\}$
    

    位数1の部分群。

    $\left\{e\right\}$

    位数2の部分群。

    $\left\{e,{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}^2\right\},\left\{e,\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\right\},\left\{e,\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\right\},\left\{e,{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}^2\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\right\},\left\{e,{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}^3\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\right\}$

    位数3の部分群 はない。

    位数4の部分群。

    $\left\{e,\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->},{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}^2,{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}^3\right\},\left\{e,{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}^2,\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->},{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}^2\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\right\},\left\{e,{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}^2,\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->},{\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}^3\mathrm{\tau \; <!--\; greek\; small\; letter\; tau\; -->}\right\}$

    位数5、6、7の部分群はない。