数学 - 代数学 - 群 - 剰余類分解(有限な指数と部分群と部分群の部分群)

代数系入門
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

代数系入門 (松坂和夫 数学入門シリーズ 3) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、4(剰余類分解)、問題2.を取り組んでみる。

2. 
   
   $\begin{array}{}\left(G:H\right)=m\\ \left(H:K\right)=n\end{array}$

   とおく。
   G の H を法とするすべての剰余類を

   $a_{1}H,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a_{m}H$

   H の K を法とするすべての剰余類を、

   $b_{1}H,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,b_{n}H$

   とする。

   このとき、 G の K を法とするすべての 剰余類は、

   $a_i{b}_{j}H\left(i=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,m,j=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n\right)$

   と一致するので、

   $\left(G:K\right)=\left(G:H\right)\left(H:K\right)$

   （証明終）

   イメージ図。