数学 - 集合と位相 - 位相空間 - R^nの距離と位相(Rのn次元空間の有限部分集合、開集合、閉集合、補集合)

集合・位相入門

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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(位相空間)、1(R^nの距離と位相)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   

   a を A の補集合の任意の元とする。

   $a\in \; <!--\; element\; of\; -->{\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}}^n-A$

   A は有限集合なので、

   $A=\left\{a_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a_n\right\}$

   とし、

   $0<\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}<\min \left\{d\left(a,a_1\right),\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,d\left(a,a_n\right)\right\}$

   とすれば、

   $\begin{array}{}B\left(a;\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)\cap \; <!--\; intersection\; -->A=\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}\\ B\left(a;\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->{\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}}^n-A\end{array}$

   となる。

   よって、 A の補集合は開集合なので、その補集合 A は閉集合である。