数学 - 集合と位相 - 位相空間 - R^nの距離と位相(開集合系の部分集合が基底であるためのいくつかの必要十分条件)

集合・位相入門
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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(位相空間)、1(R^nの距離と位相)、問題7<.を取り組んでみる。

7. 
   

   O を任意の開集合とする。

   この開集合の任意の 点 a に対して、

   $a\in \; <!--\; element\; of\; -->U_a,U_a\subset \; <!--\; subset\; of\; -->O$

   となる部分集合の元が存在する。
   よって、

   $U_{a\in \; <!--\; element\; of\; -->O}\left(U_a\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->O$

   が成り立つ。

   また、

   $O\subset \; <!--\; subset\; of\; -->U_{a\in \; <!--\; element\; of\; -->O}\left(U_a\right)$

   なので、

   $O=U_{a\in \; <!--\; element\; of\; -->O}\left(U_a\right)$

   ゆえに、 問題の部分集合は開集合系の基底である。

   必要条件であるか について。

   O を任意の開集合、 a を O を任意の点とする。

   問題の部分集合 は基底なので、 O は部分集合の元の和集合となるので、 元の中に a を含むものが存在する 。 その元を U とおけば、

   $a\in \; <!--\; element\; of\; -->U,U\subset \; <!--\; subset\; of\; -->O$

   よって、 必要条件である。

   ゆえに、必要十分条件である。

   後年について。
   必要条件かどうかについて。

   $a,\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

   をそれぞれ

   ${\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}}^n$

   の任意の点、 任意の正数とする。

   $B\left(a;\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)$

   は開集合なので、

   $a\in \; <!--\; element\; of\; -->U,U\subset \; <!--\; subset\; of\; -->B\left(\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->};\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)$

   を満たす部分集合の元 U が存在する。

   よって必要条件である。

   十分条件かについて。

   O を

   ${\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}}^n$

   の任意の開集合、 a を O の任意の点とする。

   このとき、 ある正の正の数

   $\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}$

   が存在して、

   $B\left(a;\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->O$

   が成り立つ。

   また、

   $a\in \; <!--\; element\; of\; -->U,U\subset \; <!--\; subset\; of\; -->B\left(a;\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->O$

   となる部分集合の元 U が存在する。

   よって十分条件である。
   ゆえに必要十分条件である。

   以上より、 問題の2つの条件は同等である。

   （証明終）