2018年10月28日日曜日

学習環境

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(位相空間)、1(R^nの距離と位相)、問題7<.を取り組んでみる。


  1. O を任意の開集合とする。

    この開集合の任意の 点 a に対して、

    a U a , U a O

    となる部分集合の元が存在する。
    よって、

    U a O U a O

    が成り立つ。

    また、

    O U a O U a

    なので、

    O = U a O U a

    ゆえに、 問題の部分集合は開集合系の基底である。

    必要条件であるか について。

    O を任意の開集合、 a を O を任意の点とする。

    問題の部分集合 は基底なので、 O は部分集合の元の和集合となるので、 元の中に a を含むものが存在する 。 その元を U とおけば、

    a U , U O

    よって、 必要条件である。

    ゆえに、必要十分条件である。

    後年について。
    必要条件かどうかについて。

    a , ε

    をそれぞれ

    n

    の任意の点、 任意の正数とする。

    B a ; ε

    は開集合なので、

    a U , U B α ; ε

    を満たす部分集合の元 U が存在する。

    よって必要条件である。

    十分条件かについて。

    O を

    n

    の任意の開集合、 a を O の任意の点とする。

    このとき、 ある正の正の数

    ε

    が存在して、

    B a ; ε O

    が成り立つ。

    また、

    a U , U B a ; ε O

    となる部分集合の元 U が存在する。

    よって十分条件である。
    ゆえに必要十分条件である。

    以上より、 問題の2つの条件は同等である。

    (証明終)

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