2018年10月28日日曜日

学習環境

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、3(部分群と生成系)、問題7.を取り組んでみる。


  1. a、 b を S によって生成される G の部分群の 任意の2元とする。

    x = i = 1 n x i y = j = 1 m y j x i , y j S S - 1

    a、 b をそれぞれ

    S , S - 1

    の任意の元とする。

    このとき、

    b - 1 S a b = b b - 1 a b a - 1 a = b a b - 1 b a - 1 a = b a

    よって、可換である。

    a、 b をともに

    S - 1

    の任意の元とすると、

    a - 1 , b - 1 S a b = b b - 1 a b a - 1 a = b a b - 1 b a - 1 a = b a

    よって可換である。

    ゆえに、

    x y = y x

    すなわち S によって生成される G の部分群は可換群である。

    (証明終)

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