数学 - 集合と位相 - 位相空間 - R^nの距離と位相(閉集合系の3つの性質、空集合、全体、和集合、共通部分、有限、無限)

集合・位相入門
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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(位相空間)、1(R^nの距離と位相)、問題5.を取り組んでみる。

5. 
   
   1. 
      
      ${\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}}^n={\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}}^c,\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}={\left({\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}}^n\right)}^c$

      よって、開集合の補集合なので、 ともに閉集合。

   2. 
      
      $A_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,A_k$

      が閉集合ならば、

      $A_1^c,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,A_k^c$

      は開集合。

      よって、

      $A_1^c\cap \; <!--\; intersection\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->\cap \; <!--\; intersection\; -->A_k^c$

      は開集合。

      よって、

      ${\left(A_1^c\cap \; <!--\; intersection\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\cap \; <!--\; intersection\; -->A_k^c\right)}^c=A_1\cup \; <!--\; union\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\cup \; <!--\; union\; -->A_1$

      は閉集合。

   3. 
      
      ${\left(A_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}\right)}_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\in \; <!--\; element\; of\; -->\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}$

      を任意の閉集合から成る集合族とすると、

      ${\left(A_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}^c\right)}_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\in \; <!--\; element\; of\; -->\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}$

      は開集合からなる集合族。

      よって、

      $U_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\in \; <!--\; element\; of\; -->\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}\left(A_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}^c\right)$

      は開集合。
      よって、

      $\begin{array}{}{\left(U_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\in \; <!--\; element\; of\; -->\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}\left(A_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}^c\right)\right)}^c\\ =\cap \; <!--\; intersection\; -->\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\in \; <!--\; element\; of\; -->\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}\left(A_{\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}}\right)\end{array}$

      は閉集合。

      （証明終）