数学 - 代数学 - 群 - 部分群と生成系(有限群の部分群、乗法、逆元)

代数系入門
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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、3(部分群と生成系)、問題5.を取り組んでみる。

5. 
   

   S の元の積 の成す集合とH とする。

   S は 有限群 G の生成系なので、 H は有限集合で'乗法について閉じている。

   よって、 H は G の部分群である。
   また、

   $S\subset \; <!--\; subset\; of\; -->H$

   なので、 S の任意 の元の逆元は H に含まれるので、Hの任意の元は

   $S\cup \; <!--\; union\; -->S^{-1}$

   の有限個の積として表わされる。

   よって、 H は S によって 生成されるので、

   $G=H$