2018年10月14日日曜日

学習環境

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、6(漸化式で定められる数列)、問題5.を取り組んでみる。


  1. 問題の仮定より、

    α = c 1 + c 1 2 - 4 c 2 2 , α - = c 1 - c 2 2 - 4 c 2 2

    一般項の一般形 を考える。

    a , b c 1 2 - 4 c 2 2 = b i c 1 2 = a α = a + b i , α - = a - b i a n = A α n + B α - n r = a 2 + b 2 α = r cos θ + i sin θ cos θ = a r , sin θ = b r α n = r n cos n θ + i sin n θ α - n = r n cos n θ - i sin n θ A = x + y i B = u + v i x , y , u , v

    よって、

    a n = x + y i r n cos n θ + i sin n θ + u + v i r n cos n θ - i sin n θ = r n x + u cos n θ + v - y sin n θ + i x - u sin n θ + y + v cos n θ

    実数列なので、

    x - u sin n θ + y + v cos n θ = 0 x - u = 0 y + v = 0 u = x v = - y

    ゆえに、

    A = x + y i B = x - y i = A -

    以上より、

    a n = A α n + A - α - n

    が成り立つ。

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