数学 - 線型代数 - 固有値と固有ベクトル - 漸化式で定められる数列(長さ、固有多項式(特性多項式)、虚数解、極形式、一般項、共役な複素数、実数部分、虚数部分)

線型代数入門

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線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、6(漸化式で定められる数列)、問題5.を取り組んでみる。

5. 
   

   問題の仮定より、

   $\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}=\frac{c_1+\sqrt{c_1^2-4c_2}}{2},\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}=\frac{c_1-\sqrt{c_2^2-4c_2}}{2}$

   一般項の一般形 を考える。

   $\begin{array}{}a,b\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\\ \frac{\sqrt{c_1^2-4c_2}}{2}=bi\\ \frac{c_1}{2}=a\\ \mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}=a+bi,\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}=a-bi\\ a_n=A{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}^n+B{\left(\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\right)}^n\\ r=\sqrt{a^2+b^2}\\ \mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}=r\left(\cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}+i\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\\ \cos \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}=\frac{a}{r},\sin \mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}=\frac{b}{r}\\ {\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}^n=r^n\left(\cos \left(n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)+i\sin \left(n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\right)\\ {\left(\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\right)}^n=r^n\left(\cos \left(n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)-i\sin \left(n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\right)\\ A=x+yi\\ B=u+vi\\ \left(x,y,u,v\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\right)\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{}{a}_n=\left(x+yi\right)r^n\left(\cos \left(n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)+i\sin \left(n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\right)+\left(u+vi\right)r^n\left(\cos \left(n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)-i\sin \left(n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\right)\\ =r^n\left(\left(\left(x+u\right)\cos \left(n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)+\left(v-y\right)\sin \left(n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\right)+i\left(\left(x-u\right)\sin \left(n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)+\left(y+v\right)\cos \left(n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)\right)\right)\end{array}$

   実数列なので、

   $\begin{array}{}\left(x-u\right)\sin \left(n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)+\left(y+v\right)\cos \left(n\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\right)=0\\ x-u=0\\ y+v=0\\ u=x\\ v=-y\end{array}$

   ゆえに、

   $\begin{array}{}A=x+yi\\ B=x-yi=\stackrel{-}{A}\end{array}$

   以上より、

   $a_n=A{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}^n+\stackrel{-}{A}{\left(\stackrel{-}{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}\right)}^n$

   が成り立つ。