数学 - Python - 線型代数 - 固有値と固有ベクトル - 固有多項式(特性多項式)(単位行列)

線型代数入門

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、Surfaceペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、2(固有多項式(特性多項式))、問題4.を取り組んでみる。

4. 
   
   $\begin{array}{}{f}_A\left(x\right)\\ =\det \left(x{I}_n-A\right)\\ =\det \left(x{I}_n-c{I}_n\right)\\ =\det \left(\left(x-c\right)I_n\right)\\ ={\left(x-c\right)}^n\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix
import random

print('4.')

x, c = symbols('x, c')


def g(i, j):
    if i == j:
        return 1
    return 0


def f(n, A):
    In = Matrix([[g(i, j) for j in range(n)]
                 for i in range(n)])
    return (x * In - A)


for _ in range(10):
    n = random.randrange(1, 5)
    In = Matrix([[g(i, j) for j in range(n)]
                 for i in range(n)])
    A = c * In
    D = f(n, A).det().factor()
    for t in [A, f(n, A), D, D == (x - c) ** n]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
4.
[c]

[-c + x]

-c + x

True


[c]

[-c + x]

-c + x

True


⎡c  0  0  0⎤
⎢          ⎥
⎢0  c  0  0⎥
⎢          ⎥
⎢0  0  c  0⎥
⎢          ⎥
⎣0  0  0  c⎦

⎡-c + x    0       0       0   ⎤
⎢                              ⎥
⎢  0     -c + x    0       0   ⎥
⎢                              ⎥
⎢  0       0     -c + x    0   ⎥
⎢                              ⎥
⎣  0       0       0     -c + x⎦

        4
(-c + x) 

True


[c]

[-c + x]

-c + x

True


⎡c  0  0  0⎤
⎢          ⎥
⎢0  c  0  0⎥
⎢          ⎥
⎢0  0  c  0⎥
⎢          ⎥
⎣0  0  0  c⎦

⎡-c + x    0       0       0   ⎤
⎢                              ⎥
⎢  0     -c + x    0       0   ⎥
⎢                              ⎥
⎢  0       0     -c + x    0   ⎥
⎢                              ⎥
⎣  0       0       0     -c + x⎦

        4
(-c + x) 

True


⎡c  0  0  0⎤
⎢          ⎥
⎢0  c  0  0⎥
⎢          ⎥
⎢0  0  c  0⎥
⎢          ⎥
⎣0  0  0  c⎦

⎡-c + x    0       0       0   ⎤
⎢                              ⎥
⎢  0     -c + x    0       0   ⎥
⎢                              ⎥
⎢  0       0     -c + x    0   ⎥
⎢                              ⎥
⎣  0       0       0     -c + x⎦

        4
(-c + x) 

True


[c]

[-c + x]

-c + x

True


[c]

[-c + x]

-c + x

True


[c]

[-c + x]

-c + x

True


⎡c  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  c⎦

⎡-c + x    0   ⎤
⎢              ⎥
⎣  0     -c + x⎦

        2
(-c + x) 

True


$