2018年9月3日月曜日

学習環境

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、2(群とその例)、問題3.を取り組んでみる。


  1. b を G のある元とし、 c を

    b c = b

    を満たす G の元とする。


    a を G の任意の元とする。

    このとき、

    v b = a

    を満たす G の元 v が存在する。

    このことから

    a c = v b c = v b c = v b = a

    が成り立つ。

    同様に、 G のある元 d が存在して、

    d a = a

    が成り立つ。

    c、 d について、

    c = d c = d

    が成り立つ。

    よって、

    c = d = e a e = e a = a

    は単位元である。

    また、

    u a = e a w = e

    となる G の元 u、 w が存在し、

    u = u e = u a w = u a w = e w = w

    となるので、

    u = w = a - 1 a - 1 a = a a - 1 = e

    となり、 a の逆元が 存在する。

    ゆえに G は群である。

    (証明終)

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