2018年9月30日日曜日

学習環境

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、5(固有空間)、問題4.を取り組んでみる。


  1. 左側の行列について。


    固有多項式(特性多項式)

    det x 0 0 - 1 0 x - 1 0 0 - 1 x 0 - 1 0 0 x = x x 3 - x + - x 2 + 1 = x 2 x 2 - 1 - x 2 - 1 = x 2 - 1 2 = x + 1 2 x - 1 2

    よって、固有値は±1。

    固有ベクトル、固有空間の次元について。

    a - d = 0 b - c = 0 - b + c = 0 - a + d = 0 1 1 1 1 ' 1 - 1 - 1 1 dim W 1 = 2 - a - d = 0 - b - c = 0 - b - c = 0 - a - d = 0 1 1 - 1 - 1 ' 1 - 1 1 - 1 dim W - 1 = 2

    よって、対角化可能。

    右側の行列について。

    固有多項式(特性多項式)

    det x 0 - 1 - 1 0 x - 1 0 0 - 1 x 0 - 1 - 1 0 x = x x 3 - x + - x 2 + 1 = x 2 x 2 - 1 - x 2 - 1 = x 2 - 1 4

    よって、固有値は±1。

    固有ベクトル、固有空間とその次元について。

    a - c - d = 0 b - c = 0 - c + b = 0 - a - b + d = 0 c = b a - b - d = 0 - a - b + d = 0 b = 0 a = d 1 0 0 1 dim W 1 = 1 - a - c - d = 0 - b - c = 0 - b - c = 0 - a - b - d = 0 c = - b - a + b - d = 0 - a - b - d = 0 2 b = 0 b = 0 1 0 0 - 1 dim W - 1 = 1

    よって、対角化可能ではない。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I

print('4.')

a, b = symbols('a, b')
c = symbols('c', nonzero=True)
A = Matrix([[0, 0, 0, 1],
            [0, 0, 1, 0],
            [0, 1, 0, 0],
            [1, 0, 0, 0]])
P = Matrix([[1, 1, 1, 1],
            [1, -1, 1, -1],
            [1, -1, -1, 1],
            [1, 1, -1, - 1]])
for t in [A, P, P ** -1, P ** -1 * A * P]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
4.
⎡0  0  0  1⎤
⎢          ⎥
⎢0  0  1  0⎥
⎢          ⎥
⎢0  1  0  0⎥
⎢          ⎥
⎣1  0  0  0⎦

⎡1  1   1   1 ⎤
⎢             ⎥
⎢1  -1  1   -1⎥
⎢             ⎥
⎢1  -1  -1  1 ⎥
⎢             ⎥
⎣1  1   -1  -1⎦

⎡1/4  1/4   1/4   1/4 ⎤
⎢                     ⎥
⎢1/4  -1/4  -1/4  1/4 ⎥
⎢                     ⎥
⎢1/4  1/4   -1/4  -1/4⎥
⎢                     ⎥
⎣1/4  -1/4  1/4   -1/4⎦

⎡1  0  0   0 ⎤
⎢            ⎥
⎢0  1  0   0 ⎥
⎢            ⎥
⎢0  0  -1  0 ⎥
⎢            ⎥
⎣0  0  0   -1⎦

$

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