数学 - Python - 線型代数 - 固有値と固有ベクトル - 固有空間(重複度、4次、固有多項式(特性多項式)、次元)

線型代数入門

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、5(固有空間)、問題4.を取り組んでみる。

4. 
   

   左側の行列について。

   
   固有多項式（特性多項式）

   $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{cccc}x& 0& 0& -1\\ 0& x& -1& 0\\ 0& -1& x& 0\\ -1& 0& 0& x\end{array}\right)\\ =x\left(x^3-x\right)+\left(-x^2+1\right)\\ =x^2\left(x^2-1\right)-\left(x^2-1\right)\\ ={\left(x^2-1\right)}^2\\ ={\left(x+1\right)}^2{\left(x-1\right)}^2\end{array}$

   よって、固有値は±1。

   固有ベクトル、固有空間の次元について。

   $\begin{array}{}a-d=0\\ b-c=0\\ -b+c=0\\ -a+d=0\\ \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right)\text{'}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -1\\ 1\end{array}\right)\\ \dim W\left(1\right)=2\\ -a-d=0\\ -b-c=0\\ -b-c=0\\ -a-d=0\\ \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\\ -1\end{array}\right)\text{'}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\\ -1\end{array}\right)\\ \dim W\left(-1\right)=2\end{array}$

   よって、対角化可能。

   右側の行列について。

   固有多項式（特性多項式）

   $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{cccc}x& 0& -1& -1\\ 0& x& -1& 0\\ 0& -1& x& 0\\ -1& -1& 0& x\end{array}\right)\\ =x\left(x^3-x\right)+\left(-x^2+1\right)\\ =x^2\left(x^2-1\right)-\left(x^2-1\right)\\ ={\left(x^2-1\right)}^4\end{array}$

   よって、固有値は±1。

   固有ベクトル、固有空間とその次元について。

   $\begin{array}{}a-c-d=0\\ b-c=0\\ -c+b=0\\ -a-b+d=0\\ c=b\\ a-b-d=0\\ -a-b+d=0\\ b=0\\ a=d\\ \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\\ \dim W\left(1\right)=1\\ -a-c-d=0\\ -b-c=0\\ -b-c=0\\ -a-b-d=0\\ c=-b\\ -a+b-d=0\\ -a-b-d=0\\ 2b=0\\ b=0\\ \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ -1\end{array}\right)\\ \dim W\left(-1\right)=1\end{array}$

   よって、対角化可能ではない。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I

print('4.')

a, b = symbols('a, b')
c = symbols('c', nonzero=True)
A = Matrix([[0, 0, 0, 1],
            [0, 0, 1, 0],
            [0, 1, 0, 0],
            [1, 0, 0, 0]])
P = Matrix([[1, 1, 1, 1],
            [1, -1, 1, -1],
            [1, -1, -1, 1],
            [1, 1, -1, - 1]])
for t in [A, P, P ** -1, P ** -1 * A * P]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
4.
⎡0  0  0  1⎤
⎢          ⎥
⎢0  0  1  0⎥
⎢          ⎥
⎢0  1  0  0⎥
⎢          ⎥
⎣1  0  0  0⎦

⎡1  1   1   1 ⎤
⎢             ⎥
⎢1  -1  1   -1⎥
⎢             ⎥
⎢1  -1  -1  1 ⎥
⎢             ⎥
⎣1  1   -1  -1⎦

⎡1/4  1/4   1/4   1/4 ⎤
⎢                     ⎥
⎢1/4  -1/4  -1/4  1/4 ⎥
⎢                     ⎥
⎢1/4  1/4   -1/4  -1/4⎥
⎢                     ⎥
⎣1/4  -1/4  1/4   -1/4⎦

⎡1  0  0   0 ⎤
⎢            ⎥
⎢0  1  0   0 ⎥
⎢            ⎥
⎢0  0  -1  0 ⎥
⎢            ⎥
⎣0  0  0   -1⎦

$