数学 - Python - 線型代数 - 固有値と固有ベクトル - 対角化の条件(3次、計算、逆行列、行列式、随伴行列)

線型代数入門

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、Surfaceペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、4(対角化の条件)、問題2.を取り組んでみる。

2. 
   
   $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{ccc}x-1& 0& 0\\ -1& x-3& 3\\ 2& -2& x+4\end{array}\right)\\ =\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x+4\right)+6\left(x-1\right)\\ =\left(x^2+x-12+6\right)\left(x-1\right)\\ =\left(x-1\right)\left(x^2+x-6\right)\\ =\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x+3\right)\end{array}$

   よって固有値は 1、 2、-3。

   固有ベクトルについて。

   $\begin{array}{}-a-2b+3c=0\\ 2a-2b+5c=0\\ 3a+2c=0\\ c=-\frac{3}{2}a\\ -a-2b-\frac{9}{2}a=0\\ -\frac{11}{2}a-2b=0\\ b=-\frac{11}{4}a\\ p_1=\left(\begin{array}{c}4\\ -11\\ -6\end{array}\right)\\ a=0\\ -b+3c=0\\ -2b+6c=0\\ p_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 1\end{array}\right)\\ a=0\\ -6b+3c=0\\ -2b+c=0\\ p_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)\\ P=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ -11& 3& 1\\ -6& 1& 2\end{array}\right)\end{array}$

   P の逆行列を求める。

   $\begin{array}{}\det P=24-4=20\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{11}=6-1=5\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{12}=-\left(-22+6\right)=16\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{13}=-11+18=7\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{21}=0\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{22}=8\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{23}=-4\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{31}=0\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{32}=-4\\ {\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{33}=12\\ P^{-1}=\frac{1}{20}\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 16& 8& -4\\ 7& -4& 12\end{array}\right)\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{}{P}^{-1}AP\\ =\frac{1}{20}\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 16& 8& -4\\ 7& -4& 12\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 3& -3\\ -2& 2& -4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ -11& 3& 1\\ -6& 1& 2\end{array}\right)\\ =\frac{1}{20}\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 32& 16& -8\\ -21& 12& -36\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ -11& 3& 1\\ -6& 1& 2\end{array}\right)\\ =\frac{1}{20}\left(\begin{array}{ccc}20& 0& 0\\ 0& 40& 0\\ 0& 0& -60\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& -3\end{array}\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I

print('2.')

A = Matrix([[1, 0, 0],
            [1, 3, -3],
            [-2, 2, -4]])
P = Matrix([[4, 0, 0],
            [-11, 3, 1],
            [-6, 1, 2]])

for t in [A, P, P ** -1, P ** -1 * A * P]:
    pprint(t.expand())
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
2.
⎡1   0  0 ⎤
⎢         ⎥
⎢1   3  -3⎥
⎢         ⎥
⎣-2  2  -4⎦

⎡ 4   0  0⎤
⎢         ⎥
⎢-11  3  1⎥
⎢         ⎥
⎣-6   1  2⎦

⎡1/4    0     0  ⎤
⎢                ⎥
⎢4/5   2/5   -1/5⎥
⎢                ⎥
⎣7/20  -1/5  3/5 ⎦

⎡1  0  0 ⎤
⎢        ⎥
⎢0  2  0 ⎥
⎢        ⎥
⎣0  0  -3⎦

$