2018年9月16日日曜日

学習環境

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、4(対角化の条件)、問題2.を取り組んでみる。


  1. det x - 1 0 0 - 1 x - 3 3 2 - 2 x + 4 = x - 1 x - 3 x + 4 + 6 x - 1 = x 2 + x - 12 + 6 x - 1 = x - 1 x 2 + x - 6 = x - 1 x - 2 x + 3

    よって固有値は 1、 2、-3。

    固有ベクトルについて。

    - a - 2 b + 3 c = 0 2 a - 2 b + 5 c = 0 3 a + 2 c = 0 c = - 3 2 a - a - 2 b - 9 2 a = 0 - 11 2 a - 2 b = 0 b = - 11 4 a p 1 = 4 - 11 - 6 a = 0 - b + 3 c = 0 - 2 b + 6 c = 0 p 2 = 0 3 1 a = 0 - 6 b + 3 c = 0 - 2 b + c = 0 p 3 = 0 1 2 P = 4 0 0 - 11 3 1 - 6 1 2

    P の逆行列を求める。

    det P = 24 - 4 = 20 Δ 11 = 6 - 1 = 5 Δ 12 = - - 22 + 6 = 16 Δ 13 = - 11 + 18 = 7 Δ 21 = 0 Δ 22 = 8 Δ 23 = - 4 Δ 31 = 0 Δ 32 = - 4 Δ 33 = 12 P - 1 = 1 20 5 0 0 16 8 - 4 7 - 4 12

    よって、

    P - 1 A P = 1 20 5 0 0 16 8 - 4 7 - 4 12 1 0 0 1 3 - 3 - 2 2 - 4 4 0 0 - 11 3 1 - 6 1 2 = 1 20 5 0 0 32 16 - 8 - 21 12 - 36 4 0 0 - 11 3 1 - 6 1 2 = 1 20 20 0 0 0 40 0 0 0 - 60 = 1 0 0 0 2 0 0 0 - 3

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I

print('2.')

A = Matrix([[1, 0, 0],
            [1, 3, -3],
            [-2, 2, -4]])
P = Matrix([[4, 0, 0],
            [-11, 3, 1],
            [-6, 1, 2]])

for t in [A, P, P ** -1, P ** -1 * A * P]:
    pprint(t.expand())
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
2.
⎡1   0  0 ⎤
⎢         ⎥
⎢1   3  -3⎥
⎢         ⎥
⎣-2  2  -4⎦

⎡ 4   0  0⎤
⎢         ⎥
⎢-11  3  1⎥
⎢         ⎥
⎣-6   1  2⎦

⎡1/4    0     0  ⎤
⎢                ⎥
⎢4/5   2/5   -1/5⎥
⎢                ⎥
⎣7/20  -1/5  3/5 ⎦

⎡1  0  0 ⎤
⎢        ⎥
⎢0  2  0 ⎥
⎢        ⎥
⎣0  0  -3⎦

$

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