数学 - Python - 線型代数 - 固有値と固有ベクトル - 対角化の条件(2次、実数の範囲と複素数の範囲)

線型代数入門

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、4(対角化の条件)、問題3-(a)、(b)、(c).を取り組んでみる。

3. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{cc}x-1& -2\\ 0& x-1\end{array}\right)\\ ={\left(x-1\right)}^2\end{array}$

      実数においても複素数においても固有値は1のみ。

      よってどちらにおいても対角化可能ではない。

   2. 
      
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{cc}x-1& -2\\ -3& x+4\end{array}\right)\\ =x^2+3x-4-6\\ =x^2+3x-10\\ =\left(x+5\right)\left(x-2\right)\end{array}$

      対角化可能。
      固有ベクトルを求める。

      $\begin{array}{}-6a-2b=0\\ -3a-b=0\\ a=1,b=-3\\ \left(\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right)\\ a-2b=0\\ -3a+6b=0\\ a=2,b=1\\ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)\end{array}$

      よって、 求める正則行列 P は

      $P=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -3& 1\end{array}\right)$
   3. 
      
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{cc}x-1& 2\\ -5& x-3\end{array}\right)\\ =x^2-4x+3+10\\ =x^4-4x+13\\ \frac{D}{4}=4-13=-9<0\end{array}$

      よって、 R において対角化可能ではない。

      C においては対角化可能。

      固有値、固有ベクトルを求める。

      $\begin{array}{}x=2\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{-9}=2\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->3i\\ \left(1\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->3i\right)a+2b=0\\ -5a+\left(-1\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->3i\right)b=0\\ a=2,b=-1\mp \; <!--\; latex:\; \backslash mp\; -->3i\end{array}$

      よって求める正則行列は、

      $P=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ -1-3i& -1+3i\end{array}\right)$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I

print('3.')

As = [Matrix([[1, 2],
              [3, -4]]),
      Matrix([[1, -2],
              [5, 3]])]
Ps = [Matrix([[1, 2],
              [-3, 1]]),
      Matrix([[2, 2],
              [-1 - 3 * I, -1 + 3 * I]])]

for i, (A, P) in enumerate(zip(As, Ps)):
    print(f'({chr(ord("b") + i)})')
    for t in [A, P, P ** -1, P ** -1 * A * P]:
        pprint(t.expand())
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3.
(b)
⎡1  2 ⎤
⎢     ⎥
⎣3  -4⎦

⎡1   2⎤
⎢     ⎥
⎣-3  1⎦

⎡1/7  -2/7⎤
⎢         ⎥
⎣3/7  1/7 ⎦

⎡-5  0⎤
⎢     ⎥
⎣0   2⎦


(c)
⎡1  -2⎤
⎢     ⎥
⎣5  3 ⎦

⎡   2         2    ⎤
⎢                  ⎥
⎣-1 - 3⋅ⅈ  -1 + 3⋅ⅈ⎦

⎡1   ⅈ    ⅈ ⎤
⎢─ + ──   ─ ⎥
⎢4   12   6 ⎥
⎢           ⎥
⎢1   ⅈ   -ⅈ ⎥
⎢─ - ──  ───⎥
⎣4   12   6 ⎦

⎡2 + 3⋅ⅈ     0   ⎤
⎢                ⎥
⎣   0     2 - 3⋅ⅈ⎦


$