2018年9月17日月曜日

学習環境

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、4(対角化の条件)、問題3-(a)、(b)、(c).を取り組んでみる。



    1. det x - 1 - 2 0 x - 1 = x - 1 2

      実数においても複素数においても固有値は1のみ。

      よってどちらにおいても対角化可能ではない。


    2. det x - 1 - 2 - 3 x + 4 = x 2 + 3 x - 4 - 6 = x 2 + 3 x - 10 = x + 5 x - 2

      対角化可能。
      固有ベクトルを求める。

      - 6 a - 2 b = 0 - 3 a - b = 0 a = 1 , b = - 3 1 - 3 a - 2 b = 0 - 3 a + 6 b = 0 a = 2 , b = 1 2 1

      よって、 求める正則行列 P は

      P = 1 2 - 3 1

    3. det x - 1 2 - 5 x - 3 = x 2 - 4 x + 3 + 10 = x 4 - 4 x + 13 D 4 = 4 - 13 = - 9 < 0

      よって、 R において対角化可能ではない。

      C においては対角化可能。

      固有値、固有ベクトルを求める。

      x = 2 ± - 9 = 2 ± 3 i 1 ± 3 i a + 2 b = 0 - 5 a + - 1 ± 3 i b = 0 a = 2 , b = - 1 3 i

      よって求める正則行列は、

      P = 2 2 - 1 - 3 i - 1 + 3 i

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I

print('3.')

As = [Matrix([[1, 2],
              [3, -4]]),
      Matrix([[1, -2],
              [5, 3]])]
Ps = [Matrix([[1, 2],
              [-3, 1]]),
      Matrix([[2, 2],
              [-1 - 3 * I, -1 + 3 * I]])]

for i, (A, P) in enumerate(zip(As, Ps)):
    print(f'({chr(ord("b") + i)})')
    for t in [A, P, P ** -1, P ** -1 * A * P]:
        pprint(t.expand())
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3.
(b)
⎡1  2 ⎤
⎢     ⎥
⎣3  -4⎦

⎡1   2⎤
⎢     ⎥
⎣-3  1⎦

⎡1/7  -2/7⎤
⎢         ⎥
⎣3/7  1/7 ⎦

⎡-5  0⎤
⎢     ⎥
⎣0   2⎦


(c)
⎡1  -2⎤
⎢     ⎥
⎣5  3 ⎦

⎡   2         2    ⎤
⎢                  ⎥
⎣-1 - 3⋅ⅈ  -1 + 3⋅ⅈ⎦

⎡1   ⅈ    ⅈ ⎤
⎢─ + ──   ─ ⎥
⎢4   12   6 ⎥
⎢           ⎥
⎢1   ⅈ   -ⅈ ⎥
⎢─ - ──  ───⎥
⎣4   12   6 ⎦

⎡2 + 3⋅ⅈ     0   ⎤
⎢                ⎥
⎣   0     2 - 3⋅ⅈ⎦


$

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