数学 - 線形代数学 - 群 – 群とその実例(置換、対称群、位数、階乗、帰納法)

ラング線形代数学(下)
原著

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ラング線形代数学(下)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の14章(群)、1(群とその実例)、練習問題1.を取り組んでみる。

1. 
   
   $S_2=\left\{\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\right\}$

   よって、位数は2。

   $S_3=\left\{\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)\right\}$

   よって、位数は6。

   $\begin{array}{}{S}_n\\ =n{S}_{n-1}\\ =n\left(n-1\right)!\\ =n!\end{array}$

   よって、帰納法により階乗である。

   （証明終）