数学 - Python - 線形代数学 - 多項式と行列 – 特性多項式(複素固有値、固有ベクトル、因数分解)

ラング線形代数学(下)
原著

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(下)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の9章(多項式と行列)、4(特性多項式)、練習問題3-(c).を取り組んでみる。

3. 
   
   3. 
      

      特性多項式。

      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{cc}t-1& -2i\\ 0& t-2\end{array}\right)\\ =\left(t-1\right)\left(t-2\right)\end{array}$

      固有値。

      $\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}=1,2$

      固有ベクトル。

      $\begin{array}{}\left(\begin{array}{cc}0& -2i\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\\ -2yi=0\\ -y=0\\ \left(\begin{array}{cc}1& -2i\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\\ x-2iy=0\\ \left(1,0\right),\left(2i,1\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I, solve

print('3-(c).')

t, x, y = symbols('t, x, y')

A = Matrix([[1, 2 * I],
            [0, 2]])
B = Matrix([[t, 0],
            [0, t]])
C = B - A
D = C.det()
ts = solve(D, t)
X = Matrix([[x],
            [y]])
for s in [A, B, C, D, ts]:
    pprint(s)
    print()

for t0 in ts:
    E = C.subs({t: t0}) * X
    a, b = E
    pprint(solve(a - b, dict=True))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample5.py
3-(c).
⎡1  2⋅ⅈ⎤
⎢      ⎥
⎣0   2 ⎦

⎡t  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  t⎦

⎡t - 1  -2⋅ⅈ ⎤
⎢            ⎥
⎣  0    t - 2⎦

(t - 2)⋅(t - 1)

[1, 2]

[{y: 0}]
[{x: 2⋅ⅈ⋅y}]
$