数学 - 代数学 - 群 - 写像(単射、部分集合、和集合、像の逆像、包含関係)

代数系入門

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、1(写像)、問題2.を取り組んでみる。

2. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{}y\in \; <!--\; element\; of\; -->f\left(U\right)\cap \; <!--\; intersection\; -->f\left(W\right)\\ \iff \; <!--\; left\; right\; double\; arrow\; -->y\in \; <!--\; element\; of\; -->f\left(U\right)\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->y\in \; <!--\; element\; of\; -->f\left(W\right)\\ \Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->\exists \; <!--\; there\; exists\; -->x_1\in \; <!--\; element\; of\; -->U\left[f\left(x_1\right)=y\right]\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->\exists \; <!--\; there\; exists\; -->x_2\in \; <!--\; element\; of\; -->W\left[f\left(x_2\right)=y\right]\end{array}$

      問題の仮定より、 f は単射なので、

      $\begin{array}{}f\left(x_1\right)=y=f\left(x_2\right)\\ x_1=x_2\end{array}$

      ゆえに、

      $\begin{array}{}\exists \; <!--\; there\; exists\; -->x\in \; <!--\; element\; of\; -->U\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->W\left[f\left(x\right)=y\right]\\ y\in \; <!--\; element\; of\; -->f\left(U\cap \; <!--\; intersection\; -->W\right)\\ f\left(U\right)\cap \; <!--\; intersection\; -->f\left(W\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->f\left(U\cap \; <!--\; intersection\; -->W\right)\end{array}$

      よって、

      $f\left(U\cap \; <!--\; intersection\; -->W\right)=f\left(U\right)\cap \; <!--\; intersection\; -->f\left(W\right)$
   3. 
      
      $\begin{array}{}x\in \; <!--\; element\; of\; -->f^{-1}\left(f\left(U\right)\right)\\ \iff \; <!--\; left\; right\; double\; arrow\; -->f\left(x\right)\in \; <!--\; element\; of\; -->f\left(U\right)\end{array}$

      x が U の元ではない と仮定する。

      ある U の元 a が存在して、

      $f\left(x\right)=f\left(a\right)\in \; <!--\; element\; of\; -->f\left(U\right)$

      問題の仮定より、

      $x=a$

      これは×が U の元ではないことと矛盾する。

      ゆえに、 x は U の元である。

      よって、

      $\begin{array}{}x\in \; <!--\; element\; of\; -->U\\ f^{-1}\left(f\left(U\right)\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->U\end{array}$

      すなわち、

      $f^{-1}\left(f\left(U\right)\right)=U$