数学 - Python - 線型代数 - 固有値と固有ベクトル - 固有値・固有ベクトル(複素数における固有値、連立一次方程式の解)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、1(固有値・固有ベクトル)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   
   $\begin{array}{}a{x}_1-b{x}_2=\left(a+bi\right)x_1\\ b{x}_1+a{x}_2=\left(a+bi\right)x_2\\ -bi{x}_1-b{x}_2=0\\ b{x}_1-bi{x}_2=0\\ x_1=1,x_2=-i\\ c\left(1,-i\right)\\ a{x}_1-b{x}_2=\left(a-bi\right)x_1\\ b{x}_1+a{x}_2=\left(a-bi\right)x_2\\ bi{x}_1-b{x}_2=0\\ b{x}_1+bi{x}_2=0\\ x_1=1,x_2=i\\ c\left(1,i\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I, solve

print('1.')

a, b, t, x1, x2 = symbols('a, b, t, x1, x2')

A = Matrix([[a, -b],
            [b, a]])
B = Matrix([[t, 0],
            [0, t]])
C = B - A
D = C.det()
ts = solve(D, t)
X = Matrix([[x1],
            [x2]])
for s in [A, B, C, D, ts]:
    pprint(s)
    print()

for t0 in ts:
    E = C.subs({t: t0}) * X
    pprint(solve(E, x1))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1.
⎡a  -b⎤
⎢     ⎥
⎣b  a ⎦

⎡t  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  t⎦

⎡-a + t    b   ⎤
⎢              ⎥
⎣  -b    -a + t⎦

 2           2
b  + (-a + t) 

[a - ⅈ⋅b, a + ⅈ⋅b]

{x₁: -ⅈ⋅x₂}
{x₁: ⅈ⋅x₂}
$