数学 - 代数学 - 群 - 写像(合成写像、恒等写像、逆写像)

代数系入門

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、1(写像)、問題5.を取り組んでみる。

5. 
   

   a、 b を S の任意の元とする。

   $f\left(a\right)=f\left(b\right)$

   のと仮定する。

   $\begin{array}{}g\left(f\left(a\right)\right)=g\left(f\left(b\right)\right)\\ \left(g\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f\right)\left(a\right)=\left(g\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f\right)\left(b\right)\\ I_s\left(a\right)=I_s\left(b\right)\\ a=b\end{array}$

   よって、 f は単射である。

   c を S'の任意の元とする。

   $\begin{array}{}{I}_s,\left(c\right)=c\\ \left(f\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->g\right)\left(c\right)=c\\ f\left(g\left(c\right)\right)=c\end{array}$

   よって、 f は全射である。

   ゆえに、 f は全単射である。

   また、

   $f^{-1}\left(c\right)=a$

   のとき 、

   $\begin{array}{}\left(g\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f\right)\left(a\right)=a\\ g\left(f\left(a\right)\right)=a\\ g\left(c\right)=a\end{array}$

   よって、写像 g は f の逆写像と一致する。

   （証明終）