数学 - Python - 線型代数 - 固有値と固有ベクトル - 固有多項式(特性多項式)(トレース(trace)、n次行列の積)

線型代数入門

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、Surfaceペン(端末)
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• Nebo(Windows アプリ)
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、2(固有多項式(特性多項式))、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   
   $\begin{array}{}AB=\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}{b}_{kj}\right)\\ tr\left(AB\right)=\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{lk}{b}_{kl}\right)\\ BA=\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{b}_{ik}{a}_{kj}\right)\\ tr\left(BA\right)=\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{b}_{lk}{a}_{kl}\right)\\ =\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{kl}{b}_{lk}\right)\\ =\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{lk}{b}_{kl}\right)\end{array}$

   よって、

   $tr\left(AB\right)=tr\left(BA\right)$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I, solve

print('1.')

n = 10

A = Matrix([[symbols(f'a{i}{j}') for j in range(1, n + 1)]
            for i in range(1, n + 1)])
B = Matrix([[symbols(f'b{i}{j}') for j in range(1, n + 1)]
            for i in range(1, n + 1)])

AB = A * B
BA = B * A
trAB = AB.trace()
trBA = BA.trace()
for t in [A, B, trAB, trBA, trAB == trBA]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1.
⎡a₁₁   a₁₂   a₁₃   a₁₄   a₁₅   a₁₆   a₁₇   a₁₈   a₁₉   a₁₁₀ ⎤
⎢                                                           ⎥
⎢a₂₁   a₂₂   a₂₃   a₂₄   a₂₅   a₂₆   a₂₇   a₂₈   a₂₉   a₂₁₀ ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢a₃₁   a₃₂   a₃₃   a₃₄   a₃₅   a₃₆   a₃₇   a₃₈   a₃₉   a₃₁₀ ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢a₄₁   a₄₂   a₄₃   a₄₄   a₄₅   a₄₆   a₄₇   a₄₈   a₄₉   a₄₁₀ ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢a₅₁   a₅₂   a₅₃   a₅₄   a₅₅   a₅₆   a₅₇   a₅₈   a₅₉   a₅₁₀ ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢a₆₁   a₆₂   a₆₃   a₆₄   a₆₅   a₆₆   a₆₇   a₆₈   a₆₉   a₆₁₀ ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢a₇₁   a₇₂   a₇₃   a₇₄   a₇₅   a₇₆   a₇₇   a₇₈   a₇₉   a₇₁₀ ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢a₈₁   a₈₂   a₈₃   a₈₄   a₈₅   a₈₆   a₈₇   a₈₈   a₈₉   a₈₁₀ ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢a₉₁   a₉₂   a₉₃   a₉₄   a₉₅   a₉₆   a₉₇   a₉₈   a₉₉   a₉₁₀ ⎥
⎢                                                           ⎥
⎣a₁₀₁  a₁₀₂  a₁₀₃  a₁₀₄  a₁₀₅  a₁₀₆  a₁₀₇  a₁₀₈  a₁₀₉  a₁₀₁₀⎦

⎡b₁₁   b₁₂   b₁₃   b₁₄   b₁₅   b₁₆   b₁₇   b₁₈   b₁₉   b₁₁₀ ⎤
⎢                                                           ⎥
⎢b₂₁   b₂₂   b₂₃   b₂₄   b₂₅   b₂₆   b₂₇   b₂₈   b₂₉   b₂₁₀ ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢b₃₁   b₃₂   b₃₃   b₃₄   b₃₅   b₃₆   b₃₇   b₃₈   b₃₉   b₃₁₀ ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢b₄₁   b₄₂   b₄₃   b₄₄   b₄₅   b₄₆   b₄₇   b₄₈   b₄₉   b₄₁₀ ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢b₅₁   b₅₂   b₅₃   b₅₄   b₅₅   b₅₆   b₅₇   b₅₈   b₅₉   b₅₁₀ ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢b₆₁   b₆₂   b₆₃   b₆₄   b₆₅   b₆₆   b₆₇   b₆₈   b₆₉   b₆₁₀ ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢b₇₁   b₇₂   b₇₃   b₇₄   b₇₅   b₇₆   b₇₇   b₇₈   b₇₉   b₇₁₀ ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢b₈₁   b₈₂   b₈₃   b₈₄   b₈₅   b₈₆   b₈₇   b₈₈   b₈₉   b₈₁₀ ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢b₉₁   b₉₂   b₉₃   b₉₄   b₉₅   b₉₆   b₉₇   b₉₈   b₉₉   b₉₁₀ ⎥
⎢                                                           ⎥
⎣b₁₀₁  b₁₀₂  b₁₀₃  b₁₀₄  b₁₀₅  b₁₀₆  b₁₀₇  b₁₀₈  b₁₀₉  b₁₀₁₀⎦

a₁₀₁⋅b₁₁₀ + a₁₀₁₀⋅b₁₀₁₀ + a₁₀₂⋅b₂₁₀ + a₁₀₃⋅b₃₁₀ + a₁₀₄⋅b₄₁₀ + a₁₀₅⋅b₅₁₀ + a₁₀₆
⋅b₆₁₀ + a₁₀₇⋅b₇₁₀ + a₁₀₈⋅b₈₁₀ + a₁₀₉⋅b₉₁₀ + a₁₁⋅b₁₁ + a₁₁₀⋅b₁₀₁ + a₁₂⋅b₂₁ + a₁
₃⋅b₃₁ + a₁₄⋅b₄₁ + a₁₅⋅b₅₁ + a₁₆⋅b₆₁ + a₁₇⋅b₇₁ + a₁₈⋅b₈₁ + a₁₉⋅b₉₁ + a₂₁⋅b₁₂ + 
a₂₁₀⋅b₁₀₂ + a₂₂⋅b₂₂ + a₂₃⋅b₃₂ + a₂₄⋅b₄₂ + a₂₅⋅b₅₂ + a₂₆⋅b₆₂ + a₂₇⋅b₇₂ + a₂₈⋅b₈
₂ + a₂₉⋅b₉₂ + a₃₁⋅b₁₃ + a₃₁₀⋅b₁₀₃ + a₃₂⋅b₂₃ + a₃₃⋅b₃₃ + a₃₄⋅b₄₃ + a₃₅⋅b₅₃ + a₃
₆⋅b₆₃ + a₃₇⋅b₇₃ + a₃₈⋅b₈₃ + a₃₉⋅b₉₃ + a₄₁⋅b₁₄ + a₄₁₀⋅b₁₀₄ + a₄₂⋅b₂₄ + a₄₃⋅b₃₄ 
+ a₄₄⋅b₄₄ + a₄₅⋅b₅₄ + a₄₆⋅b₆₄ + a₄₇⋅b₇₄ + a₄₈⋅b₈₄ + a₄₉⋅b₉₄ + a₅₁⋅b₁₅ + a₅₁₀⋅b
₁₀₅ + a₅₂⋅b₂₅ + a₅₃⋅b₃₅ + a₅₄⋅b₄₅ + a₅₅⋅b₅₅ + a₅₆⋅b₆₅ + a₅₇⋅b₇₅ + a₅₈⋅b₈₅ + a₅
₉⋅b₉₅ + a₆₁⋅b₁₆ + a₆₁₀⋅b₁₀₆ + a₆₂⋅b₂₆ + a₆₃⋅b₃₆ + a₆₄⋅b₄₆ + a₆₅⋅b₅₆ + a₆₆⋅b₆₆ 
+ a₆₇⋅b₇₆ + a₆₈⋅b₈₆ + a₆₉⋅b₉₆ + a₇₁⋅b₁₇ + a₇₁₀⋅b₁₀₇ + a₇₂⋅b₂₇ + a₇₃⋅b₃₇ + a₇₄⋅
b₄₇ + a₇₅⋅b₅₇ + a₇₆⋅b₆₇ + a₇₇⋅b₇₇ + a₇₈⋅b₈₇ + a₇₉⋅b₉₇ + a₈₁⋅b₁₈ + a₈₁₀⋅b₁₀₈ + 
a₈₂⋅b₂₈ + a₈₃⋅b₃₈ + a₈₄⋅b₄₈ + a₈₅⋅b₅₈ + a₈₆⋅b₆₈ + a₈₇⋅b₇₈ + a₈₈⋅b₈₈ + a₈₉⋅b₉₈ 
+ a₉₁⋅b₁₉ + a₉₁₀⋅b₁₀₉ + a₉₂⋅b₂₉ + a₉₃⋅b₃₉ + a₉₄⋅b₄₉ + a₉₅⋅b₅₉ + a₉₆⋅b₆₉ + a₉₇⋅
b₇₉ + a₉₈⋅b₈₉ + a₉₉⋅b₉₉

a₁₀₁⋅b₁₁₀ + a₁₀₁₀⋅b₁₀₁₀ + a₁₀₂⋅b₂₁₀ + a₁₀₃⋅b₃₁₀ + a₁₀₄⋅b₄₁₀ + a₁₀₅⋅b₅₁₀ + a₁₀₆
⋅b₆₁₀ + a₁₀₇⋅b₇₁₀ + a₁₀₈⋅b₈₁₀ + a₁₀₉⋅b₉₁₀ + a₁₁⋅b₁₁ + a₁₁₀⋅b₁₀₁ + a₁₂⋅b₂₁ + a₁
₃⋅b₃₁ + a₁₄⋅b₄₁ + a₁₅⋅b₅₁ + a₁₆⋅b₆₁ + a₁₇⋅b₇₁ + a₁₈⋅b₈₁ + a₁₉⋅b₉₁ + a₂₁⋅b₁₂ + 
a₂₁₀⋅b₁₀₂ + a₂₂⋅b₂₂ + a₂₃⋅b₃₂ + a₂₄⋅b₄₂ + a₂₅⋅b₅₂ + a₂₆⋅b₆₂ + a₂₇⋅b₇₂ + a₂₈⋅b₈
₂ + a₂₉⋅b₉₂ + a₃₁⋅b₁₃ + a₃₁₀⋅b₁₀₃ + a₃₂⋅b₂₃ + a₃₃⋅b₃₃ + a₃₄⋅b₄₃ + a₃₅⋅b₅₃ + a₃
₆⋅b₆₃ + a₃₇⋅b₇₃ + a₃₈⋅b₈₃ + a₃₉⋅b₉₃ + a₄₁⋅b₁₄ + a₄₁₀⋅b₁₀₄ + a₄₂⋅b₂₄ + a₄₃⋅b₃₄ 
+ a₄₄⋅b₄₄ + a₄₅⋅b₅₄ + a₄₆⋅b₆₄ + a₄₇⋅b₇₄ + a₄₈⋅b₈₄ + a₄₉⋅b₉₄ + a₅₁⋅b₁₅ + a₅₁₀⋅b
₁₀₅ + a₅₂⋅b₂₅ + a₅₃⋅b₃₅ + a₅₄⋅b₄₅ + a₅₅⋅b₅₅ + a₅₆⋅b₆₅ + a₅₇⋅b₇₅ + a₅₈⋅b₈₅ + a₅
₉⋅b₉₅ + a₆₁⋅b₁₆ + a₆₁₀⋅b₁₀₆ + a₆₂⋅b₂₆ + a₆₃⋅b₃₆ + a₆₄⋅b₄₆ + a₆₅⋅b₅₆ + a₆₆⋅b₆₆ 
+ a₆₇⋅b₇₆ + a₆₈⋅b₈₆ + a₆₉⋅b₉₆ + a₇₁⋅b₁₇ + a₇₁₀⋅b₁₀₇ + a₇₂⋅b₂₇ + a₇₃⋅b₃₇ + a₇₄⋅
b₄₇ + a₇₅⋅b₅₇ + a₇₆⋅b₆₇ + a₇₇⋅b₇₇ + a₇₈⋅b₈₇ + a₇₉⋅b₉₇ + a₈₁⋅b₁₈ + a₈₁₀⋅b₁₀₈ + 
a₈₂⋅b₂₈ + a₈₃⋅b₃₈ + a₈₄⋅b₄₈ + a₈₅⋅b₅₈ + a₈₆⋅b₆₈ + a₈₇⋅b₇₈ + a₈₈⋅b₈₈ + a₈₉⋅b₉₈ 
+ a₉₁⋅b₁₉ + a₉₁₀⋅b₁₀₉ + a₉₂⋅b₂₉ + a₉₃⋅b₃₉ + a₉₄⋅b₄₉ + a₉₅⋅b₅₉ + a₉₆⋅b₆₉ + a₉₇⋅
b₇₉ + a₉₈⋅b₈₉ + a₉₉⋅b₉₉

True

$