数学 - Python - 線型代数 - 固有値と固有ベクトル - 固有値・固有ベクトル(実数、連立一次方程式の解、2次)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、1(固有値・固有ベクトル)、問題2-(a)、(b)、(c).を取り組んでみる。

2. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{cc}t-2& -1\\ -1& t-2\end{array}\right)\\ =t^2-4t+4-1\\ =t^2-4t+3\\ =\left(t-3\right)\left(t-1\right)\end{array}$

      固有値3、1。

      固有ベクトル。

      $\begin{array}{}2x+y=3x\\ x+2y=3y\\ x-y=0\\ x-y=0\\ c\left(1,1\right)\\ 2x+y=x\\ x+2y=y\\ x+y=0\\ c\left(1,-1\right)\end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{cc}t-3& -1\\ 1& t-1\end{array}\right)\\ =t^2-4t+3+1\\ ={\left(t-2\right)}^2\end{array}$

      固有値2。

      固有ベクトル。

      $\begin{array}{}3x+y=2x\\ -x+y=2y\\ x+y=0\\ c\left(1,-1\right)\end{array}$
   3. 
      
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{cc}t-1& 1\\ -2& t+1\end{array}\right)\\ =t^2-1+2\\ =t^2+1\end{array}$

      実数において固有値は存在しない。
      よって固有ベクトルも存在しない。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I, solve

print('2.')

t, x1, x2 = symbols('t, x1, x2', real=True)

As = [Matrix([[2, 1],
              [1, 2]]),
      Matrix([[3, 1],
              [-1, 1]]),
      Matrix([[1, -1],
              [2, -1]])]
B = Matrix([[t, 0],
            [0, t]])
X = Matrix([[x1],
            [x2]])

for i, A in enumerate(As):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    C = B - A
    D = C.det()
    ts = solve(D, t)
    for s in [A, C, D, ts]:
        pprint(s)
        print()

    for t0 in ts:
        E = C.subs({t: t0}) * X
        pprint(solve(E, x2))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
2.
(a)
⎡2  1⎤
⎢    ⎥
⎣1  2⎦

⎡t - 2   -1  ⎤
⎢            ⎥
⎣ -1    t - 2⎦

       2    
(t - 2)  - 1

[1, 3]

{x₂: -x₁}
{x₂: x₁}
(b)
⎡3   1⎤
⎢     ⎥
⎣-1  1⎦

⎡t - 3   -1  ⎤
⎢            ⎥
⎣  1    t - 1⎦

(t - 3)⋅(t - 1) + 1

[2]

{x₂: -x₁}
(c)
⎡1  -1⎤
⎢     ⎥
⎣2  -1⎦

⎡t - 1    1  ⎤
⎢            ⎥
⎣ -2    t + 1⎦

(t - 1)⋅(t + 1) + 2

[]

$