数学 - Python - 解析学 - 行列式 - 行列式の他の性質(積、階数(rank)、零)

解析入門〈3〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第16章(行列式)、16.2(行列式の他の性質)、問題5.を取り組んでみる。

5. 
   

   行列 BA は n 次の正方行列で、

   $\begin{array}{}rank\left(BA\right)\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\min \left\{rankA,rankB\right\}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\min \left\{m,n\right\}\\ =m\\ <n\end{array}$

   よって、

   $\det \left(BA\right)=0$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('5.')

for m in range(1, 5):
    for n in range(m + 1, 5):
        A = Matrix([[symbols(f'a{i + 1}{j + 1}') for j in range(n)]
                    for i in range(m)])
        B = Matrix([[symbols(f'b{i + 1}{j + 1}') for j in range(m)]
                    for i in range(n)])
        for t in [A, B, (B * A).det().simplify()]:
            pprint(t)
            print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample6.py
5.
[a₁₁  a₁₂]

⎡b₁₁⎤
⎢   ⎥
⎣b₂₁⎦

0

[a₁₁  a₁₂  a₁₃]

⎡b₁₁⎤
⎢   ⎥
⎢b₂₁⎥
⎢   ⎥
⎣b₃₁⎦

0

[a₁₁  a₁₂  a₁₃  a₁₄]

⎡b₁₁⎤
⎢   ⎥
⎢b₂₁⎥
⎢   ⎥
⎢b₃₁⎥
⎢   ⎥
⎣b₄₁⎦

0

⎡a₁₁  a₁₂  a₁₃⎤
⎢             ⎥
⎣a₂₁  a₂₂  a₂₃⎦

⎡b₁₁  b₁₂⎤
⎢        ⎥
⎢b₂₁  b₂₂⎥
⎢        ⎥
⎣b₃₁  b₃₂⎦

0

⎡a₁₁  a₁₂  a₁₃  a₁₄⎤
⎢                  ⎥
⎣a₂₁  a₂₂  a₂₃  a₂₄⎦

⎡b₁₁  b₁₂⎤
⎢        ⎥
⎢b₂₁  b₂₂⎥
⎢        ⎥
⎢b₃₁  b₃₂⎥
⎢        ⎥
⎣b₄₁  b₄₂⎦

0

⎡a₁₁  a₁₂  a₁₃  a₁₄⎤
⎢                  ⎥
⎢a₂₁  a₂₂  a₂₃  a₂₄⎥
⎢                  ⎥
⎣a₃₁  a₃₂  a₃₃  a₃₄⎦

⎡b₁₁  b₁₂  b₁₃⎤
⎢             ⎥
⎢b₂₁  b₂₂  b₂₃⎥
⎢             ⎥
⎢b₃₁  b₃₂  b₃₃⎥
⎢             ⎥
⎣b₄₁  b₄₂  b₄₃⎦

0

$