数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 – 正値スカラー積(実数、n次正方行列、積、トレース(対角要素の和))

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題7.を取り組んでみる。

7. 
   
   $\begin{array}{}AB=\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}{b}_{kj}\right)\\ tr\left(AB\right)=\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{lk}{b}_{kl}\right)\\ tr\left(BA\right)=\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{b}_{lk}{a}_{kl}\right)\\ =\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{kl}{b}_{lk}\right)\\ =\underset{l=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{lk}{b}_{kl}\right)\end{array}$

   よって、可換。

   $⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->=tr\left(AB\right)=tr\left(BA\right)=⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->B,A⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->$
   $\begin{array}{}A\left(B+C\right)\\ =AB+AC\\ tr\left(A,B+C\right)=tr\left(AB\right)+tr\left(AC\right)\\ ⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B+C⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->=⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->+⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,C⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\end{array}$

   また、

   $\begin{array}{}tr\left(\left(xA\right)B\right)\\ =tr\left(x\left(AB\right)\right)\\ =xtr\left(AB\right)\\ tr\left(A\left(xB\right)\right)\\ =tr\left(x\left(AB\right)\right)\\ =xtr\left(tB\right)\\ ⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->xA,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->=x⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ ⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,xB⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->=x⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\end{array}$

   よって、スカラー積である。

   また、行列 A がすべての行列 B に対して、

   $tr\left(A,B\right)=0$

   のとき、

   $A=O$

   よって、退化していない。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

print('7.')


def sp(a, b):
    return (a * b).trace()


x = symbols('x')
for n in range(1, 6):
    A = Matrix([[symbols(f'a{i + 1}{j + 1}') for j in range(n)]
                for i in range(n)])
    B = Matrix([[symbols(f'b{i + 1}{j + 1}') for j in range(n)]
                for i in range(n)])
    C = Matrix([[symbols(f'c{i + 1}{j + 1}') for j in range(n)]
                for i in range(n)])
    for t in [A, B, sp(A, B),
              sp(A, B) == sp(B, A),
              sp(A, B + C).expand() == sp(A, B) + sp(A, C),
              sp(x * A, B) == (x * sp(A, B)).expand() == sp(A, x * B)]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample7.py
7.
[a₁₁]

[b₁₁]

a₁₁⋅b₁₁

True

True

True


⎡a₁₁  a₁₂⎤
⎢        ⎥
⎣a₂₁  a₂₂⎦

⎡b₁₁  b₁₂⎤
⎢        ⎥
⎣b₂₁  b₂₂⎦

a₁₁⋅b₁₁ + a₁₂⋅b₂₁ + a₂₁⋅b₁₂ + a₂₂⋅b₂₂

True

True

True


⎡a₁₁  a₁₂  a₁₃⎤
⎢             ⎥
⎢a₂₁  a₂₂  a₂₃⎥
⎢             ⎥
⎣a₃₁  a₃₂  a₃₃⎦

⎡b₁₁  b₁₂  b₁₃⎤
⎢             ⎥
⎢b₂₁  b₂₂  b₂₃⎥
⎢             ⎥
⎣b₃₁  b₃₂  b₃₃⎦

a₁₁⋅b₁₁ + a₁₂⋅b₂₁ + a₁₃⋅b₃₁ + a₂₁⋅b₁₂ + a₂₂⋅b₂₂ + a₂₃⋅b₃₂ + a₃₁⋅b₁₃ + a₃₂⋅b₂₃ 
+ a₃₃⋅b₃₃

True

True

True


⎡a₁₁  a₁₂  a₁₃  a₁₄⎤
⎢                  ⎥
⎢a₂₁  a₂₂  a₂₃  a₂₄⎥
⎢                  ⎥
⎢a₃₁  a₃₂  a₃₃  a₃₄⎥
⎢                  ⎥
⎣a₄₁  a₄₂  a₄₃  a₄₄⎦

⎡b₁₁  b₁₂  b₁₃  b₁₄⎤
⎢                  ⎥
⎢b₂₁  b₂₂  b₂₃  b₂₄⎥
⎢                  ⎥
⎢b₃₁  b₃₂  b₃₃  b₃₄⎥
⎢                  ⎥
⎣b₄₁  b₄₂  b₄₃  b₄₄⎦

a₁₁⋅b₁₁ + a₁₂⋅b₂₁ + a₁₃⋅b₃₁ + a₁₄⋅b₄₁ + a₂₁⋅b₁₂ + a₂₂⋅b₂₂ + a₂₃⋅b₃₂ + a₂₄⋅b₄₂ 
+ a₃₁⋅b₁₃ + a₃₂⋅b₂₃ + a₃₃⋅b₃₃ + a₃₄⋅b₄₃ + a₄₁⋅b₁₄ + a₄₂⋅b₂₄ + a₄₃⋅b₃₄ + a₄₄⋅b₄
₄

True

True

True


⎡a₁₁  a₁₂  a₁₃  a₁₄  a₁₅⎤
⎢                       ⎥
⎢a₂₁  a₂₂  a₂₃  a₂₄  a₂₅⎥
⎢                       ⎥
⎢a₃₁  a₃₂  a₃₃  a₃₄  a₃₅⎥
⎢                       ⎥
⎢a₄₁  a₄₂  a₄₃  a₄₄  a₄₅⎥
⎢                       ⎥
⎣a₅₁  a₅₂  a₅₃  a₅₄  a₅₅⎦

⎡b₁₁  b₁₂  b₁₃  b₁₄  b₁₅⎤
⎢                       ⎥
⎢b₂₁  b₂₂  b₂₃  b₂₄  b₂₅⎥
⎢                       ⎥
⎢b₃₁  b₃₂  b₃₃  b₃₄  b₃₅⎥
⎢                       ⎥
⎢b₄₁  b₄₂  b₄₃  b₄₄  b₄₅⎥
⎢                       ⎥
⎣b₅₁  b₅₂  b₅₃  b₅₄  b₅₅⎦

a₁₁⋅b₁₁ + a₁₂⋅b₂₁ + a₁₃⋅b₃₁ + a₁₄⋅b₄₁ + a₁₅⋅b₅₁ + a₂₁⋅b₁₂ + a₂₂⋅b₂₂ + a₂₃⋅b₃₂ 
+ a₂₄⋅b₄₂ + a₂₅⋅b₅₂ + a₃₁⋅b₁₃ + a₃₂⋅b₂₃ + a₃₃⋅b₃₃ + a₃₄⋅b₄₃ + a₃₅⋅b₅₃ + a₄₁⋅b₁
₄ + a₄₂⋅b₂₄ + a₄₃⋅b₃₄ + a₄₄⋅b₄₄ + a₄₅⋅b₅₄ + a₅₁⋅b₁₅ + a₅₂⋅b₂₅ + a₅₃⋅b₃₅ + a₅₄⋅
b₄₅ + a₅₅⋅b₅₅

True

True

True


$