数学 - 無限をかぞえる - 集合論へのプレリュード – 可算集合 - 無限集合と可算集合(和集合、部分集合、補集合)

数学読本〈6〉

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数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード/εとδ/落ち穂拾い など(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(無限をかぞえる - 集合論へのプレリュード)、24.2(可算集合)、無限集合と可算集合、問3.を取り組んでみる。

3. 
   
   $\begin{array}{}X\cup \; <!--\; union\; -->A=B\\ B-X=X^c=C\end{array}$

   よって、 C はたかだか可算な集合である。

   ゆえに、

   $\begin{array}{}C\subset \; <!--\; subset\; of\; -->X\cup \; <!--\; union\; -->A\\ C^c=X\end{array}$

   となるので、命題8より、

   $X\cup \; <!--\; union\; -->A\sim \; <!--\; tilde\; operator\; -->X$

   となる。

   （証明終）