数学 - Python - 線型代数 - 行列式 - 余因子行列と逆行列(クラメルの公式、列ベクトル、単位ベクトル)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(行列式)、8(余因子行列と逆行列)、問題2.を取り組んでみる。

2. 
   
   $x_j=(\begin{array}{c}{x}_{1j}\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ x_{nj}\end{array})=\frac{1}{\det A}(\begin{array}{c}\det \left(e_j,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,a_n\right)\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ \det \left(a_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,e_j\right)\end{array})=\frac{1}{\det A}(\begin{array}{cc}{\left(-1\right)}^{j+1}& \det A_{j1}\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->& \\ {\left(-1\right)}^{j+n}& \det A_{jn}\end{array})$

   よって、

   $x_{ij}=\frac{1}{\det A}{\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{ji}$

   ゆえに、

   $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left({\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}}_{ji}\right)$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

for n in range(1, 4):
    A = Matrix([[symbols(f'a{i + 1}{j + 1}') for j in range(n)]
                for i in range(n)])
    A1 = A ** -1
    for t in [A, A1]:
        pprint(t)
        print()
    for j in range(n):
        x = A1[:, j]
        Ax = A * x
        for t in [x, Ax, Ax[j].factor()]:
            pprint(t)
            print()
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
[a₁₁]

⎡ 1 ⎤
⎢───⎥
⎣a₁₁⎦

⎡ 1 ⎤
⎢───⎥
⎣a₁₁⎦

[1]

1



⎡a₁₁  a₁₂⎤
⎢        ⎥
⎣a₂₁  a₂₂⎦

⎡       a₂₂               -a₁₂       ⎤
⎢─────────────────  ─────────────────⎥
⎢a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁  a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁⎥
⎢                                    ⎥
⎢      -a₂₁                a₁₁       ⎥
⎢─────────────────  ─────────────────⎥
⎣a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁  a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁⎦

⎡       a₂₂       ⎤
⎢─────────────────⎥
⎢a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁⎥
⎢                 ⎥
⎢      -a₂₁       ⎥
⎢─────────────────⎥
⎣a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁⎦

⎡     a₁₁⋅a₂₂             a₁₂⋅a₂₁     ⎤
⎢───────────────── - ─────────────────⎥
⎢a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁   a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁⎥
⎢                                     ⎥
⎣                  0                  ⎦

1


⎡      -a₁₂       ⎤
⎢─────────────────⎥
⎢a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁⎥
⎢                 ⎥
⎢       a₁₁       ⎥
⎢─────────────────⎥
⎣a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁⎦

⎡                  0                  ⎤
⎢                                     ⎥
⎢     a₁₁⋅a₂₂             a₁₂⋅a₂₁     ⎥
⎢───────────────── - ─────────────────⎥
⎣a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁   a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁⎦

1



⎡a₁₁  a₁₂  a₁₃⎤
⎢             ⎥
⎢a₂₁  a₂₂  a₂₃⎥
⎢             ⎥
⎣a₃₁  a₃₂  a₃₃⎦

⎡a₁₁⋅a₂₂⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a
⎢─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⎢                                             a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅((a₁₁⋅a₂
⎢                                                                             
⎢                  -a₂₁⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - 
⎢                  ───────────────────────────────────────────────────────────
⎢                                               (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅((a₁₁⋅a₂₂ 
⎢                                                                             
⎢                                                                          a₂₁
⎢                                                          ───────────────────
⎣                                                          (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)

₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)) - (-a₁₂⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁) + a₁₃⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁))⋅(a₂₁⋅(a₁
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁))   
                                                                              
a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₂₁⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁) -
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
- a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁))     
                                                                              
⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁) - a₃₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)                                
──────────────────────────────────────────────────────────────                
⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)                

₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁) - a₃₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁))  -a₁₁⋅a₁₂⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁
───────────────────────────────────────────  ─────────────────────────────────
                                                                             a
                                                                              
 a₃₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁))                                       a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₃ -
─────────────────────────                                       ──────────────
                                                                              
                                                                              
                                                                              
                                                                              
                                                                              

₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)) + a₁₁⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a
                                                                              
 a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁) + a₁₁⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) -
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
 (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃
                                                                              
                                        -a₁₁⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)              
            ──────────────────────────────────────────────────────────────────
            (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁

₁₂⋅a₃₁)⋅(-a₁₂⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁) + a₁₃⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁))                -(
────────────────────────────────────────────────────────────  ────────────────
₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁))                                  (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a
                                                                              
 (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁))                                     
─────────────────────────────────────────                     ────────────────
⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁))                                    (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a
                                                                              
                                                                              
───────────────                                               ────────────────
⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)                                               (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a

-a₁₂⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁) + a₁₃⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁))              ⎤
─────────────────────────────────────────────────────────────────⎥
₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)⎥
                                                                 ⎥
            -a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)                             ⎥
─────────────────────────────────────────────────────────────────⎥
₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)⎥
                                                                 ⎥
             a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)                             ⎥
─────────────────────────────────────────────────────────────────⎥
₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)⎦

⎡a₁₁⋅a₂₂⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a
⎢─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⎢                                             a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅((a₁₁⋅a₂
⎢                                                                             
⎢                  -a₂₁⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - 
⎢                  ───────────────────────────────────────────────────────────
⎢                                               (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅((a₁₁⋅a₂₂ 
⎢                                                                             
⎢                                                                          a₂₁
⎢                                                          ───────────────────
⎣                                                          (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)

₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)) - (-a₁₂⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁) + a₁₃⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁))⋅(a₂₁⋅(a₁
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁))   
                                                                              
a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₂₁⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁) -
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
- a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁))     
                                                                              
⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁) - a₃₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)                                
──────────────────────────────────────────────────────────────                
⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)                

₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁) - a₃₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁))⎤
───────────────────────────────────────────⎥
                                           ⎥
                                           ⎥
 a₃₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁))                  ⎥
─────────────────────────                  ⎥
                                           ⎥
                                           ⎥
                                           ⎥
                                           ⎥
                                           ⎦

⎡   a₁₂⋅(-a₂₁⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(
⎢   ──────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⎢                                   (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(
⎢                                                                             
⎢a₂₂⋅(-a₂₁⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁
⎢─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⎢                                (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁
⎢                                                                             
⎢a₃₂⋅(-a₂₁⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁
⎢─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⎣                                (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁

a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₂₁⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁) - a₃₁⋅(a₁₁⋅
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁))                 
                                                                              
⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₂₁⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁) - a₃₁⋅(a₁₁⋅a₂₂
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁))                    
                                                                              
⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₂₁⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁) - a₃₁⋅(a₁₁⋅a₂₂
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁))                    

a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)))                a₁₃⋅(a₂₁⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁) - a₃₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - 
──────────────── + ───────────────────────────────────────────────────────────
                   (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂
                                                                              
 - a₁₂⋅a₂₁)))                a₂₃⋅(a₂₁⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁) - a₃₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂
───────────── + ──────────────────────────────────────────────────────────────
                (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅
                                                                              
 - a₁₂⋅a₂₁)))                a₃₃⋅(a₂₁⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁) - a₃₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂
───────────── + ──────────────────────────────────────────────────────────────
                (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅

a₁₂⋅a₂₁))                a₁₁⋅a₂₂⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a
────────────────────── + ─────────────────────────────────────────────────────
₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)                                                  (a₁₁⋅a
                                                                              
⋅a₂₁))                a₂₁⋅(a₁₁⋅a₂₂⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - 
─────────────────── + ────────────────────────────────────────────────────────
(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)                                                   a₁₁⋅(a₁₁
                                                                              
⋅a₂₁))                a₃₁⋅(a₁₁⋅a₂₂⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - 
─────────────────── + ────────────────────────────────────────────────────────
(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)                                                   a₁₁⋅(a₁₁

₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)) - (-a₁₂⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁) + a₁₃⋅(a₁₁⋅
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(
                                                                              
(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)) - (-a₁₂⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁) + a₁₃⋅(a₁
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)
                                                                              
(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)) - (-a₁₂⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁) + a₁₃⋅(a₁
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)

a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁))⋅(a₂₁⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁) - a₃₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁))   ⎤
───────────────────────────────────────────────────────────────────   ⎥
a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁))                                                   ⎥
                                                                      ⎥
₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁))⋅(a₂₁⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁) - a₃₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)))⎥
──────────────────────────────────────────────────────────────────────⎥
⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁))                                                 ⎥
                                                                      ⎥
₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁))⋅(a₂₁⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁) - a₃₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)))⎥
──────────────────────────────────────────────────────────────────────⎥
⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁))                                                 ⎦

1


⎡-a₁₁⋅a₁₂⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅
⎢─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⎢                                a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅
⎢                                                                             
⎢                   a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁) + a₁₁⋅((a₁₁⋅a₂
⎢                   ──────────────────────────────────────────────────────────
⎢                                  (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a
⎢                                                                             
⎢                                                                         -a₁₁
⎢                                             ────────────────────────────────
⎣                                             (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a

a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)) + a₁₁⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)⋅(-a₁₂⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁) + a₁₃⋅(a₁₁
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁))                
                                                                              
₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁))   
───────────────────────────────────────────────────────────────────────────   
₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁))                  
                                                                              
⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)                                                          
─────────────────────────────────────────────────                             
₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)                             

⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁))⎤
────────────────⎥
                ⎥
                ⎥
                ⎥
                ⎥
                ⎥
                ⎥
                ⎥
                ⎥
                ⎦

⎡                                a₁₁⋅a₁₃⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)                  
⎢   - ────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⎢     (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ -
⎢                                                                             
⎢                             a₁₁⋅a₂₃⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)                     
⎢- ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⎢  (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁
⎢                                                                             
⎢                             a₁₁⋅a₃₃⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)                     
⎢- ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⎣  (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁

            a₁₂⋅(a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁) + a₁₁⋅((a₁₁⋅a₂₂ -
───────── + ──────────────────────────────────────────────────────────────────
 a₁₂⋅a₃₁)                     (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃
                                                                              
         a₂₂⋅(a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁) + a₁₁⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁
────── + ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
₂⋅a₃₁)                     (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ -
                                                                              
         a₃₂⋅(a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁) + a₁₁⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁
────── + ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
₂⋅a₃₁)                     (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ -

 a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)))   -a
───────────────────────────────────────────────────────────────────────── + ──
₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁))                       
                                                                              
₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)))   a₂₁⋅(
────────────────────────────────────────────────────────────────────── + ─────
 a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁))                          
                                                                              
₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)))   a₃₁⋅(
────────────────────────────────────────────────────────────────────── + ─────
 a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁))                          

₁₁⋅a₁₂⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅
                                                                              
-a₁₁⋅a₁₂⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                              a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁
                                                                              
-a₁₁⋅a₁₂⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                              a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅((a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁

 - a₁₂⋅a₃₁)) + a₁₁⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)⋅(-a₁₂⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁) + a₁₃⋅(a₁₁⋅a₂
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁))                     
                                                                              
₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)) + a₁₁⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)⋅(-a₁₂⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁) + a₁₃⋅(a₁₁⋅
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁))                   
                                                                              
₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)) + a₁₁⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)⋅(-a₁₂⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁) + a₁₃⋅(a₁₁⋅
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁))                   

₂ - a₁₂⋅a₂₁))   ⎤
─────────────   ⎥
                ⎥
                ⎥
a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)))⎥
────────────────⎥
                ⎥
                ⎥
a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)))⎥
────────────────⎥
                ⎦

1


⎡              -(-a₁₂⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁) + a₁₃⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁))          
⎢─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⎢(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅
⎢                                                                             
⎢                            -a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)                         
⎢─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⎢(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅
⎢                                                                             
⎢                             a₁₁⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)                         
⎢─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⎣(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅

    ⎤
────⎥
a₃₁)⎥
    ⎥
    ⎥
────⎥
a₃₁)⎥
    ⎥
    ⎥
────⎥
a₃₁)⎦

⎡                             a₁₁⋅a₁₂⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)                     
⎢- ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⎢  (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁
⎢                                                                             
⎢                             a₁₁⋅a₂₂⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)                     
⎢- ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⎢  (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁
⎢                                                                             
⎢                             a₁₁⋅a₃₂⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)                     
⎢- ───────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⎣  (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₂ - a₁

                                    a₁₁⋅a₁₃⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)               
────── + ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
₂⋅a₃₁)   (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃
                                                                              
                                    a₁₁⋅a₂₃⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)               
────── + ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
₂⋅a₃₁)   (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃
                                                                              
                                    a₁₁⋅a₃₃⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)               
────── + ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
₂⋅a₃₁)   (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃

                            a₁₁⋅(-a₁₂⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁) + a₁₃⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂
──────────── - ───────────────────────────────────────────────────────────────
₂ - a₁₂⋅a₃₁)   (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(
                                                                              
                            a₂₁⋅(-a₁₂⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁) + a₁₃⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂
──────────── - ───────────────────────────────────────────────────────────────
₂ - a₁₂⋅a₃₁)   (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(
                                                                              
                            a₃₁⋅(-a₁₂⋅(a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁) + a₁₃⋅(a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂
──────────── - ───────────────────────────────────────────────────────────────
₂ - a₁₂⋅a₃₁)   (a₁₁⋅a₂₂ - a₁₂⋅a₂₁)⋅(a₁₁⋅a₃₃ - a₁₃⋅a₃₁) - (a₁₁⋅a₂₃ - a₁₃⋅a₂₁)⋅(

⋅a₂₁))            ⎤
──────────────────⎥
a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)⎥
                  ⎥
⋅a₂₁))            ⎥
──────────────────⎥
a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)⎥
                  ⎥
⋅a₂₁))            ⎥
──────────────────⎥
a₁₁⋅a₃₂ - a₁₂⋅a₃₁)⎦

1



$