数学 - Python - 解析学 - 多変数の関数 - 高次偏導関数、テイラーの定理(微分鎖銉、グラディエント(gradient)、内積(ドット積、スカラー積))

解析入門〈3〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次偏導関数、テイラーの定理)、問題3-(b).を取り組んでみる。

3. 2. 
      
      $\begin{array}{}\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->v}\\ =\left(gradf\left(x,y\right)\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,-1\right)\\ =\left(\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x},\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y}\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,-1\right)\\ =\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x}-\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y}\end{array}$
      $\begin{array}{}\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->u\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->v}\\ =grad\frac{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->v}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,1\right)\\ =\left(\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x^2}-\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y},\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x}-\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y^2}\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,1\right)\\ =\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->x^2}-\frac{{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->}^{2}z}{\partial \; <!--\; partial\; differential\; -->y^2}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Function, Derivative

u, v = symbols('u, v')
x = u + v
y = u - v
f = Function('f')(x, y)
Dv = Derivative(f, v, 1)
Duv = Derivative(Dv, u, 1)
for t in [f, Dv, Dv.doit(), Duv, Duv.doit()]:
    pprint(t)
    print()
# g = Function('g')(a * x + b * y)
# z = x * f + y * g
# eq = b ** 2 * Derivative(z, x, 2) - 2 * a * b * \
#     Derivative(Derivative(z, y, 1), x, 1) + a ** 2 * Derivative(z, y, 2)
# for t in [f, g, z, eq]:
#     for s in [t, t.doit().factor()]:
#         pprint(s)
#         print()
#     print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
f(u + v, u - v)

∂                  
──(f(u + v, u - v))
∂v                 

⎛ ∂               ⎞│           ⎛ ∂               ⎞│        
⎜───(f(ξ₁, u - v))⎟│         - ⎜───(f(u + v, ξ₂))⎟│        
⎝∂ξ₁              ⎠│ξ₁=u + v   ⎝∂ξ₂              ⎠│ξ₂=u - v

⎛  2               ⎞│           ⎛  2               ⎞│        
⎜ ∂                ⎟│           ⎜ ∂                ⎟│        
⎜────(f(ξ₁, u - v))⎟│         - ⎜────(f(u + v, ξ₂))⎟│        
⎜   2              ⎟│           ⎜   2              ⎟│        
⎝∂ξ₁               ⎠│ξ₁=u + v   ⎝∂ξ₂               ⎠│ξ₂=u - v

⎛  2               ⎞│           ⎛  2               ⎞│        
⎜ ∂                ⎟│           ⎜ ∂                ⎟│        
⎜────(f(ξ₁, u - v))⎟│         - ⎜────(f(u + v, ξ₂))⎟│        
⎜   2              ⎟│           ⎜   2              ⎟│        
⎝∂ξ₁               ⎠│ξ₁=u + v   ⎝∂ξ₂               ⎠│ξ₂=u - v

$