数学 - 線形代数学 - 線形写像 – 線形写像の核と像(値域と像、同次元、全射、基底)

ラング線形代数学(上)
原著

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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、3(線形写像の核と像)、練習問題3.を取り組んでみる。

3. 
   

   V の基底を、

   $\left\{v_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,v_n\right\}$

   とする。

   定理2より、

   $\left\{F\left(v_1\right),\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,F\left(v_n\right)\right\}$

   は W の基底である。

   また、 W の任意の元は

   $w=x_{1}F\left(v_1\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_{n}F\left(v_n\right)$

   よって、

   $w=F\left(x_1{v}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_n{v}_n\right)$

   ゆえに、 F の像は W 全体である。