2018年1月12日金曜日

学習環境

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、6(同値関係、合同式)、問題9.を取り組んでみる。


  1. a = 0

    のとき、

    ( p - 1 0 ) - - 1 0 = 1 - 1 = 0

    よって、

    ( p - 1 a ) - 1 a m o d p
    0 < a p - 1

    の場合。

    p - 1 - 1 m o d p p - 2 - 2 m o d p p - a - a m o d p

    より、

    p - 1 p - 2 p - a - 1 a a ! m o d p ( p - 1 a ) a ! - 1 a a ! m o d p
    ( p - 1 a ) a ! - - 1 a a ! = p a - 1 - - 1 a a !

    また、仮定より

    a , p = 1

    よって

    ( p - 1 a ) - - 1 a 0 m o d p ( p - 1 a ) - 1 a m o d p

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import factorial


def mod(a, b, m):
    return (a - b) % m == 0


def comb(a, b):
    return factorial(a) / (factorial(a - b) * factorial(b))

ps = [2, 3, 5, 7, 11]
for p in ps:
    print(f'素数: {p}')
    for a in range(p):
        print(f'{a}: {mod(comb(p - 1, a), (-1) ** a, p)}')
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample9.py
素数: 2
0: True
1: True

素数: 3
0: True
1: True
2: True

素数: 5
0: True
1: True
2: True
3: True
4: True

素数: 7
0: True
1: True
2: True
3: True
4: True
5: True
6: True

素数: 11
0: True
1: True
2: True
3: True
4: True
5: True
6: True
7: True
8: True
9: True
10: True

$

HTML5

<pre id="output0"></pre>
<label for="p0">p = </label>
<input id="p0" type="number" min="2" step="1" value="11">

<button id="run0">run</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script src="sample9.js"></script>

JavaScript

let pre0 = document.querySelector('#output0'),
    run0 = document.querySelector('#run0'),
    clear0 = document.querySelector('#clear0'),
    input_p0 = document.querySelector('#p0'),
    inputs = [input_p0],
    range = (n) => {
        let result = [];

        for (let i = 0; i < n; i += 1) {
            result.push(i);
        }
        
        return result;
    },
    p = (text) => pre0.textContent += text + '\n',
    clear = () => pre0.textContent = '',
    mod = (a, b, m) => (a - b) % m === 0,
    isPrime = (n) => {
        for (let i = 2; i <= Math.sqrt(n); i += 1) {
            if (n % i === 0) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    },
    factorial = (n) => range(n).reduce((x, y) => x * (y + 1), 1),
    combination = (a, b) => factorial(a) / (factorial(a - b) * factorial(b)),
    output = () => {
        let p0 = parseInt(input_p0.value, 10);
        
        if (isPrime(p0)) {
            p(`素数: ${p0}`);
            p(
                range(p0)
                    .map((a) =>
                         `${a}: ${mod(combination(p0 - 1, a), (-1) ** a, p0)}`)
                    .join('\n')
            );
        } else {
            p(`仮定を満たしていない(${p0}は素数ではない)`);
        }
    };

run0.onclick = output;
clear0.onclick = clear;
inputs.forEach((input) => input.onchange = output);
output();



















						

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