数学 - Python - JavaScript - 代数学 - 整数 - 同値関係、合同式(累乗(べき乗)、剰余を求める)

代数系入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、6(同値関係、合同式)、問題10.を取り組んでみる。

10. 
    
    $\begin{array}{}{2}^{100}={\left(2^{10}\right)}^{10}\\ 2^{10}=1024\equiv \; <!--\; identical\; to\; -->24\left(mod100\right)\\ {\left(2^{100}-1\right)}^{99}\equiv \; <!--\; identical\; to\; -->{\left(24^{10}-1\right)}^{99}\left(mod100\right)\\ 24^2=576\equiv \; <!--\; identical\; to\; -->-24\left(mod|00\right)\\ 24^{10}\equiv \; <!--\; identical\; to\; -->{\left(-24\right)}^5\left(mod100\right)\\ 24^{10}\equiv \; <!--\; identical\; to\; -->-24^5\equiv \; <!--\; identical\; to\; -->24^2\equiv \; <!--\; identical\; to\; -->-24\left(mod100\right)\\ {\left(24^{10}-1\right)}^{99}\equiv \; <!--\; identical\; to\; -->{\left(-24-1\right)}^{99}\equiv \; <!--\; identical\; to\; -->{\left(-25\right)}^{99}\left(mod100\right)\\ 25^2\equiv \; <!--\; identical\; to\; -->25\left(mod100\right)\\ {\left(-25\right)}^{99}\equiv \; <!--\; identical\; to\; -->-25^{99}\equiv \; <!--\; identical\; to\; -->-25\equiv \; <!--\; identical\; to\; -->75\left(mod100\right)\\ {\left(2^{100}-1\right)}^{99}\equiv \; <!--\; identical\; to\; -->75\left(mod100\right)\end{array}$

    よって、求める余りは75。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3


def mod(a, b, m):
    return (a - b) % m == 0


print(mod((2 ** 100 - 1) ** 99, 75, 100))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample10.py 
True
$

HTML5

<pre id="output0"></pre>
<button id="run0">run</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script src="sample10.js"></script>

JavaScript

let pre0 = document.querySelector('#output0'),
    run0 = document.querySelector('#run0'),
    clear0 = document.querySelector('#clear0'),
    p = (text) => pre0.textContent += text + '\n',
    clear = () => pre0.textContent = '',
    mod = (a, b, m) => (a - b) % m === 0,
    output = () => {        
        p(mod((2 ** 100 - 1) ** 99, 75, 100));
        p((2 ** 100 - 1) ** 99);
    };

run0.onclick = output;
clear0.onclick = clear;
output();