数学 - Python - 線型代数 - 複素数、複素ベクトル空間 - 極形式(ド・モアブルの公式、三角関数(正弦、余弦)、倍角、実部、虚部)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(複素数、複素ベクトル空間)、3(極形式)、問題4.を取り組んでみる。

4. 
   
   $\begin{array}{}{\left(\cos \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}+i\sin \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\right)}^3=\cos \left(3\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\right)+i\sin \left(3\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\right)\\ {\cos }^3\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}+3i\cos \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\sin \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}-3\cos \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}{\sin }^2\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}-i{\sin }^3\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}=\cos \left(3\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\right)+i\sin \left(3\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\right)\\ \cos \left(3\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\right)={\cos }^3\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}-3\cos \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}{\sin }^2\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\end{array}$
   $\begin{array}{}{\left(\cos \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}+i\sin \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\right)}^4=\cos \left(4\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\right)+i\sin \left(4\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\right)\\ \sin \left(4\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\right)=4{\cos }^3\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\sin \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}-4\cos \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}{\sin }^3\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\end{array}$
   $\begin{array}{}{\left(\cos \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}+i\sin \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\right)}^5=\cos \left(5\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\right)+i\sin \left(5\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\right)\\ \cos \left(5\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\right)={\cos }^5\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}-10{\cos }^3\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}{\sin }^2\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}+5\cos \mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}{\sin }^4\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, cos, sin, I

x = symbols('x')
n = symbols('n', integer=True)
eq = (cos(x) + I * sin(x)) ** n

for n0 in range(3, 6):
    eq0 = eq.subs({n: n0})
    for t in [eq0, eq0.expand()]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
                   3
(ⅈ⋅sin(x) + cos(x)) 

       3           2                           2         3   
- ⅈ⋅sin (x) - 3⋅sin (x)⋅cos(x) + 3⋅ⅈ⋅sin(x)⋅cos (x) + cos (x)


                   4
(ⅈ⋅sin(x) + cos(x)) 

   4             3                  2       2                    3         4  
sin (x) - 4⋅ⅈ⋅sin (x)⋅cos(x) - 6⋅sin (x)⋅cos (x) + 4⋅ⅈ⋅sin(x)⋅cos (x) + cos (x

 
)


                   5
(ⅈ⋅sin(x) + cos(x)) 

     5           4                     3       2            2       3         
ⅈ⋅sin (x) + 5⋅sin (x)⋅cos(x) - 10⋅ⅈ⋅sin (x)⋅cos (x) - 10⋅sin (x)⋅cos (x) + 5⋅ⅈ

           4         5   
⋅sin(x)⋅cos (x) + cos (x)


$