数学 - Python - 解析学 - 距離空間の位相 - n次元実数空間における曲線(曲線、サイクロイドの長さ、微分、積分、三角関数、加法定理)

解析入門〈3〉

学習環境

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  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.4(n次元実数空間における曲線)、問題6.を取り組んでみる。

6. 
   
   $\begin{array}{}\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\text{'}\left(t\right)=\left(a\left(1-\cos t\right),\arcsin t\right)\\ \left|r\text{'}\left(t\right)\right|\\ =\sqrt{a^2{\left(1-\cos t\right)}^2+a^2{\sin }^{2}t}\\ =a\sqrt{1+{\cos }^{2}t-2\cos t+{\sin }^{2}t}\\ =a\sqrt{2-2\cos t}\\ =a\sqrt{2\left(1-\cos t\right)}\end{array}$

   ここで、 三角関数の加法定理より、

   $\begin{array}{}\cos t\\ =\cos \left(\frac{t}{2}+\frac{t}{2}\right)\\ ={\cos }^2\frac{t}{2}-{\sin }^2\frac{t}{2}\\ =1-{\sin }^2\frac{t}{2}-{\sin }^2\frac{t}{2}\\ =1-2{\sin }^2\frac{t}{2}\\ 1-\cos t=2{\sin }^2\frac{t}{2}\end{array}$

   となるので、

   $\begin{array}{}\left|\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\text{'}\left(t\right)\right|\\ =a\sqrt{2·\; <!--\; middle\; dot\; -->2{\sin }^2\frac{t}{2}}\\ =2a·\; <!--\; middle\; dot\; -->\sin \frac{t}{2}\end{array}$

   よって、求める曲線サイクロイドの長さは、

   $\begin{array}{}\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\left|\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\text{'}\left(t\right)\right|\mathrm{dt}\\ =2a\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sin \frac{t}{2}\mathrm{dt}\\ =2a{\left[-2\cos \frac{t}{2}\right]}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\\ =-4a\left(\cos \frac{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}-\cos \frac{0}{2}\right)\\ =-4a\left(-2\right)\\ =8a\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt, sin, cos, pi, Integral

t = symbols('t', real=True)
a = symbols('a', positive=True)
f = sqrt(a ** 2 * (1 - cos(t)) ** 2 + a ** 2 * sin(t) ** 2)
I = Integral(f, (t, 0, 2 * pi))

for o in [f, I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

f = a * sqrt(2 * (1 - cos(t)))
I = Integral(f, (t, 0, 2 * pi))
for o in [f, I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

f = 2 * a * Integral(sin(t / 2), (t, 0, 2 * pi))
for o in [f, I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample6.py
   ________________________________
  ╱  2              2    2    2    
╲╱  a ⋅(-cos(t) + 1)  + a ⋅sin (t) 

2⋅π                                       
 ⌠                                        
 ⎮     ________________________________   
 ⎮    ╱  2              2    2    2       
 ⎮  ╲╱  a ⋅(-cos(t) + 1)  + a ⋅sin (t)  dt
 ⌡                                        
 0                                        

  2⋅π                                         
   ⌠                                          
   ⎮     __________________________________   
   ⎮    ╱    2         2                      
a⋅ ⎮  ╲╱  sin (t) + cos (t) - 2⋅cos(t) + 1  dt
   ⌡                                          
   0                                          

    _______________
a⋅╲╱ -2⋅cos(t) + 2 

2⋅π                       
 ⌠                        
 ⎮      _______________   
 ⎮  a⋅╲╱ -2⋅cos(t) + 2  dt
 ⌡                        
 0                        

     2⋅π                   
      ⌠                    
      ⎮    _____________   
√2⋅a⋅ ⎮  ╲╱ -cos(t) + 1  dt
      ⌡                    
      0                    

    2⋅π          
     ⌠           
     ⎮     ⎛t⎞   
2⋅a⋅ ⎮  sin⎜─⎟ dt
     ⎮     ⎝2⎠   
     ⌡           
     0           

2⋅π                       
 ⌠                        
 ⎮      _______________   
 ⎮  a⋅╲╱ -2⋅cos(t) + 2  dt
 ⌡                        
 0                        

     2⋅π                   
      ⌠                    
      ⎮    _____________   
√2⋅a⋅ ⎮  ╲╱ -cos(t) + 1  dt
      ⌡                    
      0                    

$