2017年12月14日木曜日

学習環境

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.4(n次元実数空間における曲線)、問題6.を取り組んでみる。


  1. γ ' t = a 1 - cos t , arcsin t r ' t = a 2 1 - cos t 2 + a 2 sin 2 t = a 1 + cos 2 t - 2 cos t + sin 2 t = a 2 - 2 cos t = a 2 1 - cos t

    ここで、 三角関数の加法定理より、

    cos t = cos t 2 + t 2 = cos 2 t 2 - sin 2 t 2 = 1 - sin 2 t 2 - sin 2 t 2 = 1 - 2 sin 2 t 2 1 - cos t = 2 sin 2 t 2

    となるので、

    γ ' t = a 2 · 2 sin 2 t 2 = 2 a · sin t 2

    よって、求める曲線サイクロイドの長さは、

    0 2 π γ ' t dt = 2 a 0 2 π sin t 2 dt = 2 a - 2 cos t 2 0 2 π = - 4 a cos 2 π 2 - cos 0 2 = - 4 a - 2 = 8 a

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt, sin, cos, pi, Integral

t = symbols('t', real=True)
a = symbols('a', positive=True)
f = sqrt(a ** 2 * (1 - cos(t)) ** 2 + a ** 2 * sin(t) ** 2)
I = Integral(f, (t, 0, 2 * pi))

for o in [f, I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

f = a * sqrt(2 * (1 - cos(t)))
I = Integral(f, (t, 0, 2 * pi))
for o in [f, I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

f = 2 * a * Integral(sin(t / 2), (t, 0, 2 * pi))
for o in [f, I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample6.py
   ________________________________
  ╱  2              2    2    2    
╲╱  a ⋅(-cos(t) + 1)  + a ⋅sin (t) 

2⋅π                                       
 ⌠                                        
 ⎮     ________________________________   
 ⎮    ╱  2              2    2    2       
 ⎮  ╲╱  a ⋅(-cos(t) + 1)  + a ⋅sin (t)  dt
 ⌡                                        
 0                                        

  2⋅π                                         
   ⌠                                          
   ⎮     __________________________________   
   ⎮    ╱    2         2                      
a⋅ ⎮  ╲╱  sin (t) + cos (t) - 2⋅cos(t) + 1  dt
   ⌡                                          
   0                                          

    _______________
a⋅╲╱ -2⋅cos(t) + 2 

2⋅π                       
 ⌠                        
 ⎮      _______________   
 ⎮  a⋅╲╱ -2⋅cos(t) + 2  dt
 ⌡                        
 0                        

     2⋅π                   
      ⌠                    
      ⎮    _____________   
√2⋅a⋅ ⎮  ╲╱ -cos(t) + 1  dt
      ⌡                    
      0                    

    2⋅π          
     ⌠           
     ⎮     ⎛t⎞   
2⋅a⋅ ⎮  sin⎜─⎟ dt
     ⎮     ⎝2⎠   
     ⌡           
     0           

2⋅π                       
 ⌠                        
 ⎮      _______________   
 ⎮  a⋅╲╱ -2⋅cos(t) + 2  dt
 ⌡                        
 0                        

     2⋅π                   
      ⌠                    
      ⎮    _____________   
√2⋅a⋅ ⎮  ╲╱ -cos(t) + 1  dt
      ⌡                    
      0                    

$

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