数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 行列式 - 3次の行列式の諸性質(スラカラー倍)

学習環境

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参考書籍

数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.2(行列式)、3次の行列式の諸性質、問30.を取り組んでみる。

3次の行列 A を、

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix})$

とおく。

このとき、

$\begin{array}{l} \det (k A) \\ = | \begin{matrix} k a_{11} & k a_{12} & k a_{13} \\ k a_{21} & k a_{22} & k a_{23} \\ k a_{31} & k a_{32} & k a_{33} \end{matrix} | \end{array} = k a_{11} (k^{2} a_{22} a_{23} - k^{2} a_{23} a_{32}) - k a_{12} (k^{2} a_{21} a_{33} - k^{2} a_{23} a_{32}) + k a_{13} (k^{2} a_{21} a_{32} - k^{2} a_{22} a_{31}) = k^{3} (a_{11} (a_{22} a_{23} - a_{23} a_{32}) - a_{12} (a_{21} a_{33} - a_{23} a_{32}) + a_{13} (a_{21} a_{32} - a_{22} a_{31})) = k^{3} \det A$

よって、

$\det (k A) = k^{3} \det A$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

k = symbols('k')
A = Matrix([[symbols(f'a{i}{j}')for j in range(3)]
            for i in range(3)])

X1 = (k * A).det()
X2 = k ** 3 * A.det()
for t in [A, X1, X2, X1.expand() == X2.expand()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample30.py
⎡a₀₀  a₀₁  a₀₂⎤
⎢             ⎥
⎢a₁₀  a₁₁  a₁₂⎥
⎢             ⎥
⎣a₂₀  a₂₁  a₂₂⎦

             3                3                3                3             
a₀₀⋅a₁₁⋅a₂₂⋅k  - a₀₀⋅a₁₂⋅a₂₁⋅k  - a₀₁⋅a₁₀⋅a₂₂⋅k  + a₀₁⋅a₁₂⋅a₂₀⋅k  + a₀₂⋅a₁₀⋅a₂

   3                3
₁⋅k  - a₀₂⋅a₁₁⋅a₂₀⋅k 

 3                                                                            
k ⋅(a₀₀⋅a₁₁⋅a₂₂ - a₀₀⋅a₁₂⋅a₂₁ - a₀₁⋅a₁₀⋅a₂₂ + a₀₁⋅a₁₂⋅a₂₀ + a₀₂⋅a₁₀⋅a₂₁ - a₀₂⋅

        
a₁₁⋅a₂₀)

True

$

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2017年12月14日木曜日

数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 行列式 - 3次の行列式の諸性質(スラカラー倍)

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