数学 - Python - 解析学 - 距離空間の位相 - n次元実数空間における曲線(曲線の長さ、積分)

解析入門〈3〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.4(n次元実数空間における曲線)、問題3.を取り組んでみる。

3. 
   
   $\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\text{'}\left(t\right)=\left(-\arcsin t,\arccos t,b\right)$

   長さ。

   $\begin{array}{}L\left(t\right)=\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\left|\left(-\arcsin t,\arccos t,b\right)\right|\mathrm{dt}\\ =\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{a^2{\sin }^{2}t+a^2{\cos }^{2}t+b^2}\mathrm{dt}\\ =\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\sqrt{a^2+b^2}\mathrm{dt}\\ =\sqrt{a^2+b^2}{\left[t\right]}_0^{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}\\ =2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\sqrt{a^2+b^2}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, sin, cos, Derivative, Integral, pi

a, b, t = symbols('a, b, t', real=True)
f = Matrix([a * cos(t), a * sin(t), b * t])
D = Matrix([Derivative(x, t, 1) for x in f])
f1 = D.doit()
for g in [f, D, f1]:
    pprint(g)
    print()

I = Integral(f1.norm(), (t, 0, 2 * pi))
for s in [I, I.doit()]:
    pprint(s)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
⎡a⋅cos(t)⎤
⎢        ⎥
⎢a⋅sin(t)⎥
⎢        ⎥
⎣  b⋅t   ⎦

⎡∂           ⎤
⎢──(a⋅cos(t))⎥
⎢∂t          ⎥
⎢            ⎥
⎢∂           ⎥
⎢──(a⋅sin(t))⎥
⎢∂t          ⎥
⎢            ⎥
⎢  ∂         ⎥
⎢  ──(b⋅t)   ⎥
⎣  ∂t        ⎦

⎡-a⋅sin(t)⎤
⎢         ⎥
⎢a⋅cos(t) ⎥
⎢         ⎥
⎣    b    ⎦

2⋅π                                     
 ⌠                                      
 ⎮     ______________________________   
 ⎮    ╱  2    2       2    2       2    
 ⎮  ╲╱  a ⋅sin (t) + a ⋅cos (t) + b   dt
 ⌡                                      
 0                                      

       _________
      ╱  2    2 
2⋅π⋅╲╱  a  + b  

$