2017年12月9日土曜日

学習環境

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.4(n次元実数空間における曲線)、問題1.を取り組んでみる。


    1. 速度ベクトルを求める。

      f ' t = - ω sin ω t , ω cos ω t
      - ω sin ω t , ω cos ω t · cos ω t , sin ω t = ω sin ω t cos ω t - cos ω t sin ω t = ω sin ω t - ω t = ω sin 0 = 0

      よって速度ベクトルは位値ベクトルと直交する。


    2. 加速度ベクトルを求める。

      f ' ' t = - ω 2 cos ω t , - ω 2 sin ω t

      よって、

      f ' ' t = ω 2 - 1 f t

      となるので、加速度ベクトルは位値ベクトルと反対の向きをもつ。


    3. 速さ。

      f ' t = ω 2 cos 2 ω t + sin 2 ω t = ω

      加速度ベクトルのスカラー。

      f ' ' t = ω 4 sin 2 ω t + cos 2 ω t = ω 2

      よって、速さ、加速度ベクトルのスカラーは一定である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, Matrix, Derivative, solve, sqrt

ω, t = symbols('ω, t')
f = Matrix([sin(ω * t), cos(ω * t)])
f1 = Matrix([Derivative(g, t, 1).doit() for g in f])
f2 = Matrix([Derivative(g, t, 2).doit() for g in f])

for g in [f, f1, f2]:
    pprint(g)
    print()

print('(a)')
pprint(f.dot(f1) == 0)
print()

print('(b)')
d = symbols('d', real=True)
pprint(solve(f + d * f2, d))
print()

print('(c)')
for (x, y) in [f1, f2]:
    pprint(sqrt(x ** 2 + y ** 2).factor())
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
⎡sin(t⋅ω)⎤
⎢        ⎥
⎣cos(t⋅ω)⎦

⎡ω⋅cos(t⋅ω) ⎤
⎢           ⎥
⎣-ω⋅sin(t⋅ω)⎦

⎡  2         ⎤
⎢-ω ⋅sin(t⋅ω)⎥
⎢            ⎥
⎢  2         ⎥
⎣-ω ⋅cos(t⋅ω)⎦

(a)
True

(b)
⎧   1 ⎫
⎪d: ──⎪
⎨    2⎬
⎪   ω ⎪
⎩     ⎭

(c)
   ____________________________
  ╱  2 ⎛   2           2     ⎞ 
╲╱  ω ⋅⎝sin (t⋅ω) + cos (t⋅ω)⎠ 

   ____________________________
  ╱  4 ⎛   2           2     ⎞ 
╲╱  ω ⋅⎝sin (t⋅ω) + cos (t⋅ω)⎠ 

$

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