数学 - Python - 解析学 - 距離空間の位相 - n次元実数空間における曲線(微分、速度ベクトル、加速度ベクトル、スカラー(速さ))

解析入門〈3〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
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• iPad Pro + Apple Pencil
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.4(n次元実数空間における曲線)、問題1.を取り組んでみる。

1. 1. 
      

      速度ベクトルを求める。

      $f\text{'}\left(t\right)=\left(-\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}\sin \left(\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}t\right),\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}\cos \left(\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}t\right)\right)$
      $\begin{array}{}\left(-\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}\sin \left(\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}t\right),\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}\cos \left(\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}t\right)\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(\cos \left(\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}t\right),\sin \left(\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}t\right)\right)\\ =\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}\left(\sin \left(\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}t\right)\cos \left(\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}t\right)-\cos \left(\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}t\right)\sin \left(\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}t\right)\right)\\ =\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}\sin \left(\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}t-\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}t\right)\\ =\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}\sin 0\\ =0\end{array}$

      よって速度ベクトルは位値ベクトルと直交する。

   2. 
      

      加速度ベクトルを求める。

      $f\text{'}\text{'}\left(t\right)=\left(-{\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}}^2\cos \left(\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}t\right),-{\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}}^2\sin \left(\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}t\right)\right)$

      よって、

      $f\text{'}\text{'}\left(t\right)={\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}}^2\left(-1\right)f\left(t\right)$

      となるので、加速度ベクトルは位値ベクトルと反対の向きをもつ。

   3. 
      

      速さ。

      $\left|f\text{'}\left(t\right)\right|=\sqrt{{\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}}^2\left({\cos }^2\left(\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}t\right)+{\sin }^2\left(\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}t\right)\right)}=\left|\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}\right|$

      加速度ベクトルのスカラー。

      $\left|f\text{'}\text{'}\left(t\right)\right|=\sqrt{{\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}}^4\left({\sin }^2\left(\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}t\right)+{\cos }^2\left(\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}t\right)\right)}={\mathrm{\omega \; <!--\; greek\; small\; letter\; omega\; -->}}^2$

      よって、速さ、加速度ベクトルのスカラーは一定である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, Matrix, Derivative, solve, sqrt

ω, t = symbols('ω, t')
f = Matrix([sin(ω * t), cos(ω * t)])
f1 = Matrix([Derivative(g, t, 1).doit() for g in f])
f2 = Matrix([Derivative(g, t, 2).doit() for g in f])

for g in [f, f1, f2]:
    pprint(g)
    print()

print('(a)')
pprint(f.dot(f1) == 0)
print()

print('(b)')
d = symbols('d', real=True)
pprint(solve(f + d * f2, d))
print()

print('(c)')
for (x, y) in [f1, f2]:
    pprint(sqrt(x ** 2 + y ** 2).factor())
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
⎡sin(t⋅ω)⎤
⎢        ⎥
⎣cos(t⋅ω)⎦

⎡ω⋅cos(t⋅ω) ⎤
⎢           ⎥
⎣-ω⋅sin(t⋅ω)⎦

⎡  2         ⎤
⎢-ω ⋅sin(t⋅ω)⎥
⎢            ⎥
⎢  2         ⎥
⎣-ω ⋅cos(t⋅ω)⎦

(a)
True

(b)
⎧   1 ⎫
⎪d: ──⎪
⎨    2⎬
⎪   ω ⎪
⎩     ⎭

(c)
   ____________________________
  ╱  2 ⎛   2           2     ⎞ 
╲╱  ω ⋅⎝sin (t⋅ω) + cos (t⋅ω)⎠ 

   ____________________________
  ╱  4 ⎛   2           2     ⎞ 
╲╱  ω ⋅⎝sin (t⋅ω) + cos (t⋅ω)⎠ 

$