数学 - Python - オイラーの公式とその応用(Euler's Formula & Its Applications) - ベクトルと行列(Vector & Matrix) - 行列の n 乘を求める - 行列に関する指数関数(行列乗、固有値)

オイラーの贈物

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ (吉田 武(著)、東海大学出版会)の第III部(オイラーの公式とその応用(Euler's Formula & Its Applications))、第9章(ベクトルと行列(Vector & Matrix))、9.6(行列の n 乘を求める)、9.6.2(行列に関する指数関数)、問題7.を取り組んでみる。

7. 
   
   $\begin{array}{}\det \left((\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array})\right)\end{array}-\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array})=0\left(a-\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\right)\left(b-\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\right)=0$

   よって固有値は a、 b である。

   よって、

   $\begin{array}{}{e}^A\\ =\frac{e^b-e^a}{b-a}(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array})\end{array}+\frac{b{e}^a-a{e}^b}{b-a}(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array})=\frac{1}{b-a}(\begin{array}{cc}\left(e^b-e^a\right)a+b{e}^a-a{e}^b& 0\\ 0& \left(e^b-e^a\right)b+b{e}^a-a{e}^b\end{array})\\ =\frac{1}{b-a}(\begin{array}{cc}\left(b-a\right)e^a& 0\\ 0& \left(b-a\right)e^b\end{array})\\ =(\begin{array}{cc}{e}^a& 0\\ 0& e^b\end{array})$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, pprint, Matrix, exp

a, b = symbols('a, b')
n = symbols('n', integer=True)
A = Matrix([[a, 0],
            [0, b]])
for t in [A, exp(A)]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample7.py
⎡a  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  b⎦

⎡ a    ⎤
⎢ℯ   0 ⎥
⎢      ⎥
⎢     b⎥
⎣0   ℯ ⎦

$