数学 - Python - 代数学 - 整数 - 素数、素因数分解(整数の組、等比数列の和)

代数系入門

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  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問題17.を取り組んでみる。

17. 
    

    和をとると0になるためには、全ての組に0が必要。

    $\begin{array}{}0,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n^1\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ 0,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n^n\end{array}$

    和をとると整数1となるには、1組だけ1が必要。

    $\begin{array}{}0,1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n^1\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ 0,x_1^m,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n^m\end{array}$

    0から n-1までとるのに1組で n、他の組を。とすれば'、

    $\begin{array}{}0,1,2,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n-1\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ 0,x_1^m,x_2^m,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n^m\end{array}$

    等比数列の和を考える。

    $\begin{array}{}\left(n-1\right)+\left(n-1\right)n+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\left(n-1\right)n^{m-1}\\ =\frac{\left(n-1\right)\left(n^{\left(m-1\right)+1}-1\right)}{n-1}\\ =n^m-1\end{array}$
    $\begin{array}{}0,1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n-1\\ 0,x_1^2,·\; <!--\; middle\; dot\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->,\left(n-1\right)n\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ 0,x_1^m,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,\left(n-1\right)n^{m-1}\end{array}$

    以上のような考察 を続ければ、

    $\begin{array}{}0,1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n-1\\ 0,n,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,\left(n-1\right)n\\ 0,n^2,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,\left(n-1\right)n^2\\ ⋮\; <!--\; vertical\; ellipsis\; -->\\ 0,n^{m-1},\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,\left(n-1\right)n^{m-1}\end{array}$

    とすればいい。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3

m = 3
n = 4

a = [[j * n ** i for j in range(n)]
     for i in range(m)]

for nums in a:
    print(nums)
print()

for j0 in range(n):
    s0 = a[2][j0]
    for j1 in range(n):
        s1 = s0 + a[1][j1]
        for j2 in range(n):
            print(s1 + a[0][j2], end=' ')
        print()

print(f'{n}^{m} - 1 = {n ** m - 1}')
print()

m = 4
n = 3
a = [[j * n ** i for j in range(n)]
     for i in range(m)]

for nums in a:
    print(nums)
print()
for j0 in range(n):
    s0 = a[3][j0]
    for j1 in range(n):
        s1 = s0 + a[2][j1]
        for j2 in range(n):
            s2 = s1 + a[1][j2]
            for j3 in range(n):
                print(s2 + a[0][j3], end=' ')
            print()

print(f'{n}^{m} - 1 = {n ** m - 1}')

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample17.py
[0, 1, 2, 3]
[0, 4, 8, 12]
[0, 16, 32, 48]

0 1 2 3 
4 5 6 7 
8 9 10 11 
12 13 14 15 
16 17 18 19 
20 21 22 23 
24 25 26 27 
28 29 30 31 
32 33 34 35 
36 37 38 39 
40 41 42 43 
44 45 46 47 
48 49 50 51 
52 53 54 55 
56 57 58 59 
60 61 62 63 
4^3 - 1 = 63

[0, 1, 2]
[0, 3, 6]
[0, 9, 18]
[0, 27, 54]

0 1 2 
3 4 5 
6 7 8 
9 10 11 
12 13 14 
15 16 17 
18 19 20 
21 22 23 
24 25 26 
27 28 29 
30 31 32 
33 34 35 
36 37 38 
39 40 41 
42 43 44 
45 46 47 
48 49 50 
51 52 53 
54 55 56 
57 58 59 
60 61 62 
63 64 65 
66 67 68 
69 70 71 
72 73 74 
75 76 77 
78 79 80 
3^4 - 1 = 80
$