数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 行列式と面積・体積 - 2次の行列式と面積(平面乘の3点が同一直線上にあるための必要十分条件、2つのベクトルで張られる平行四辺形の面積)

数学読本〈5〉

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.4(行列式と面積・体積)、2次の行列式と面積、問41.を取り組んでみる。

41. 
    

    十分条件であることについて。
    ベクトル

    $(\begin{array}{c}{x}_2-x_1\\ y_2-y_1\end{array}),(\begin{array}{c}{x}_3-x_1\\ y_3-y_1\end{array})$

    で張られる平行四辺形を考える。

    その面積は、

    $\begin{array}{}S=\left|\det (\begin{array}{cc}{x}_2-x_1& x_3-x_1\\ y_2-y_1& y_3-y_1\end{array})\right|\end{array}=\left|\left(x_2-x_1\right)\left(y_3-y_1\right)-\left(x_3-x_1\right)\left(y_2-y_1\right)\right|$

    3点

    $\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right),\left(x_3,y_3\right)$

    が同一直線上にあるとき、平行四辺形の面積は 0となるので、

    $\left(x_2-x_1\right)\left(y_2-y_1\right)-\left(x_3-x_1\right)\left(y_3-y_1\right)=0$

    このとき、

    $\begin{array}{}\det (\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ x_1& x_2& x_3\\ y_1& y_2& y_3\end{array})\end{array}=\det (\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ x_1& x_2-x_1& x_3-x_1\\ y_1& y_2-y_1& y_3-y_1\end{array})\\ =\left(x_2-x_1\right)\left(y_2-y_1\right)-\left(x_3-x_1\right)\left(y_3-y_1\right)\\ =0$

    必要条件であることについて。

    $\det (\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ x_1& x_2& x_3\\ y_1& y_2& y_3\end{array})=0$

    ならば、

    $\left(x_2-x_1\right)\left(y_3-y_1\right)-\left(x_3-x_1\right)\left(y_2-y_1\right)=0$

    このとき、

    $S=0$

    よって3点は同一直線上にある。

    （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Triangle, Point2D, Matrix

m = Matrix([[1, 1, 1],
            [1, 2, 3],
            [2, 4, 6]])

pprint(m.det())

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample41.py
0
$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.001" value="0.005">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-10">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="10">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-10">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="10">
<br>
(<input id="a0" type="number" value="0">,  <input id="b0" type="number" value="0">)
<br>
(<input id="c0" type="number" value="5">,  <input id="d0" type="number" value="1">)
<br>
(<input id="e0" type="number" value="1">,  <input id="f0" type="number" value="5">)

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample41.js"></script>

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    input_a0 = document.querySelector('#a0'),
    input_b0 = document.querySelector('#b0'),    
    input_c0 = document.querySelector('#c0'),
    input_d0 = document.querySelector('#d0'),
    input_e0 = document.querySelector('#e0'),
    input_f0 = document.querySelector('#f0'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2,
              input_a0, input_b0, input_c0, input_d0, input_e0, input_f0],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value),
        a0 = parseFloat(input_a0.value),
        b0 = parseFloat(input_b0.value),    
        c0 = parseFloat(input_c0.value),
        d0 = parseFloat(input_d0.value),
        e0 = parseFloat(input_e0.value),
        f0 = parseFloat(input_f0.value);
        

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    

    let points = [],
        lines = [[a0, b0, c0, d0, 'red'],
                 [c0, d0, c0 + e0, d0 + f0, 'green'],
                 [c0 + e0, d0 + f0, e0, f0, 'blue'],
                 [e0, f0, a0, b0, 'orange']],
        fns = [],
        fns1 = [],
        fns2 = [];

    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                points.push([x, y, color]);
            }
        });

    fns1
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            
            lines.push([x1, f(x1), x2, f(x2), color]);
        });
    
    fns2
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
                let g = f(x);
                lines.push([x1, g(x1), x2, g(x2), color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns, fns1, fns2].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));

    p((c0 - a0) * (f0 - b0) - (e0 - a0) * (d0 - b0));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =
(, )
(, )
(, )