数学 - 集合と位相 - 集合と濃度 - 濃度の演算(実数から十巣への写像全部の集合の濃度、濃度の冪と大小、等号)

集合・位相入門

学習環境

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  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(集合と濃度)、3(濃度の演算)、問題6.を取り組んでみる。

6. 1. 
      
      $\begin{array}{}\mathrm{card}\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}=a\\ \mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}=c\\ \mathrm{card}{2}^{\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}}=f\end{array}$

      とおく。

      $c^n={\left(2^a\right)}^n=2^{an}=2^a=c$
   2. 
      
      $f\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->n+f$
      $\begin{array}{}f\\ =2^c\\ =2^{1+c}\\ =2·\; <!--\; middle\; dot\; -->2^c\\ =2^c+2^c\\ =f+f\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->n+f\end{array}$

      よって

      $n+f=f$
   3. 
      
      $\begin{array}{}f\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->nf\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->ff\\ =2^c{2}^c\\ =2^{2c}\\ =2^c\\ =f\end{array}$

      よって

      $f=nf$
   4. 
      
      $f^n={\left(2^c\right)}^n=2^{nc}=2^c=f$
   5. 
      
      $2^f\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->n^f$
      $n^f\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->{\left(2^n\right)}^f=2^{nf}=2^f$

      よって、

      $2^f=n^f$